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Solution particulière d'une équation diophantienne avec le pgcd



  1. #1
    Scapike

    Exclamation Solution particulière d'une équation diophantienne avec le pgcd


    ------

    Bonjour à tous!

    Je cherche à résoudre cette équation diophantienne, avec x et y entiers relatifs: 37x - 52y = 142.

    Je ne trouve pas de solution particulière de façon intuitive, je sais donc qu'il faut que je passe par le pgcd mais je ne sais plus comment faire. Pourriez-vous m'indiquer la méthode (et non la réponse) pour trouver une solution particulière? Merci!

    -----

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  3. #2
    hhh86

    Re : Solution particulière d'une équation diophantienne avec le pgcd

    37 et 52 sont premiers entre eux et comme 1|142., tu en déduis que l'équation admet des solutions dans un premier temps.

    Ensuite, te rappelles tu de l'algorithme d'euclide ?
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  4. #3
    Seirios

    Re : Solution particulière d'une équation diophantienne avec le pgcd

    Bonjour,

    La méthode classique est de chercher une solution particulière de par l'algorithme d'Euclide, puis de multiplier l'égalité par 142 pour trouver une solution particulière à ton équation.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  5. #4
    hhh86

    Re : Solution particulière d'une équation diophantienne avec le pgcd

    mince en même temps, désolé.
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Scapike

    Re : Solution particulière d'une équation diophantienne avec le pgcd

    Non je ne me souviens pas de l'algorithme d'Euclide... et même pour trouver une solution particulière à l'équation 37x - 52y = 1, je ne trouve pas de tête.

  8. #6
    hhh86

    Re : Solution particulière d'une équation diophantienne avec le pgcd

    52=37+15
    37=15*2+7
    Je te laisse terminer jusqu'à 1.

    Ensuite tu reprends l'algorithme dans l'autre sens pour exprimer 1 en fonction de 52 et de 37
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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  10. #7
    Scapike

    Re : Solution particulière d'une équation diophantienne avec le pgcd

    52 = 37*1 + 15
    37 = 15*2 + 7
    15 = 7*2 + 1
    7 = 7*1 + 0 => pgcd(52, 37) = 1.

    15 = 7*2 +1
    <=> 1 = 15 - 7*2
    <=> 1 = ((37 - 7)/2) - 7*2
    <=> 1 = (((52 - 15)-7)/2) - 7*2

    Mais mon 52 et mon 37 "disparaissent"...

  11. #8
    hhh86

    Re : Solution particulière d'une équation diophantienne avec le pgcd

    Bon début
    1 = 15-7*2
    1=15-2(37-15*2 )=5*15-2*37
    1=5(52-37)-2*37=5*52-7*37
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  12. #9
    hhh86

    Re : Solution particulière d'une équation diophantienne avec le pgcd

    Avec détails
    On sait que 15 = 7*2 + 1
    Donc 1=15-7*2
    On sait que 37 = 15*2 + 7
    Donc 7=37-15*2
    Donc 1=15-2(37-15*2)=5*15-2*37
    On sqit que 52 = 37*1 + 15
    Donc 15=52-37
    Donc 1=5(52-37)-2*37=5*52-7*37
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  13. #10
    Scapike

    Re : Solution particulière d'une équation diophantienne avec le pgcd

    Ok j'ai compris!! Merci beaucoup!

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