Exercices amusants

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ouvre cette discussion pour faire un recueil d'exercices amusants. Par exercice amusant, j'entends : un exercice dont l'énoncé ne fait pas intervenir de mathématiques, et dont la résolution est mathématique et non triviale.

Pour donner le ton, en voici deux :

Exercice 1 :

Montrer qu'il est toujours possible de choisir 11 chiens parmi les 101 dalmatiens de telle sorte que la somme de leurs taches soit un multiple de 11.

Exercice 2 :

Une pelle à tarte permet de découper des parts mesurant un angle fixé. On s'amuse à appliquer à une tarte aux fraises l'opération suivante :
(i) On découpe la part de tarte placée devant soi,
(ii) on la retourne,
(iii) on tourne le plateau qui porte la tarte d'un angle fixé, puis on recommence.
A quelle condition, après un nombre fini d'étapes, toutes les fraises se retrouvent-elles sur le dessus et à leur position initiale sur le plateau ?
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[invite705d0470]

Petite question: de quel niveau mathématique sont ces questions ? Bien sûr, je sais que le génie n'a pas d'âge, mais pour savoir

[Seirios]

Je préfère ne pas trop en dire pour ne pas donner involontairement des indices. Je te réponds par MP.

[invite2b14cd41]

Interessant ce fil!
Quelques propositions et un exercice:

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Solutions:
Exo 1: On réduit le nombre de taches de chaque chien modulo 11. Comme on a 101 chiens, par le principe des tiroirs, il existe au moins onze chiens qui ont le meme nombre de taches mod 11 (dont la somme est bien un multiple de 11).
Exo 2: Il faut déjà que Je réfléchis pour la suite...

Exercice 3: (Niveau prépa/L1-L2)
On dispose de 2n + 1 cailloux. On suppose que chaque sous-ensemble de 2n cailloux peut se partager en deux tas de cailloux de même masse totale. Montrer que tous les cailloux ont la même masse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

Allez, quelques problèmes amusants de plus.


Problème 1

Un ami a préparé un paquet de 52 cartes, qu'il a mélangé selon son bon plaisir. Il vous propose le défi suivant. Il va retourner toutes les cartes une par une, et vous pouvez l'arrêter à n'importe quel moment, tant qu'il reste au moins une carte non retournée. A ce moment-là, si la carte suivante est rouge, vous avez gagné et il vous offre une bière (ou un lait de chèvre tiède - grenadine si vous n'aimez pas la bière). Sinon, vous avez perdu, et c'est à vous de lui offrir une bière.

Quelle stratégie adopter pour maximiser vos chances d'obtenir de votre ami un lait de chèvre tiède - grenadine ?


Problème 2

Votre lait de chèvre vous a rendu, on ne sait comment, complètement ivre, et on se souviendra pour longtemps de votre strip-tease sur le champ de Mars face à une horde de touristes hilares (au mieux). Vous venez donc de vous faire arrêter par la police pour atteinte à la pudeur. Afin d'épargner au monde la vue de votre corps, il vous ont forcé à revêtir une veste et un pantalon, puis vous ont menotté sans ménagement. Hélas, l'extérieur de la veste est d'un marron hideux, alors que le rouge fluo du côté intérieur de la veste irait beaucoup mieux avec votre teint.

Comment faire pour retourner votre veste (sans enlever vos menottes, bien entendu) ?


Problème 3

Au petit matin, on vous rassemble, vous et quatre-vingt-dix-neuf autres taulards, sur un terrain de football. Un geôlier particulièrement sadique vous explique la procédure suivante. Il a disposé dans une pièce une centaine de coffres en cercle, et dans chaque coffre est écrit le nom de l'un d'entre vous. Il vous fera rentrer chacun son tour dans la pièce ; vous pourrez ouvrir exactement cinquante coffres, puis vous repartirez et tout sera remis en ordre. Si tous les prisonniers parviennent à trouver le coffre dans lequel est inscrit leur nom, alors vous serez libérés ; si ne serait-ce qu'un seul d'entre eux échoue, alors vous serez tous envoyés au bagne de Cayenne (rouvert suite au scandale du problème précédent). Vous pouvez vous concerter maintenant, mais une fois que l'épreuve aura débuté, toute communication entre les prisonniers sera impossible.

Quelle stratégie élaborer pour avoir de bonnes chances de sortir libre ?

[Seirios]

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Solutions:
Exo 1: On réduit le nombre de taches de chaque chien modulo 11. Comme on a 101 chiens, par le principe des tiroirs, il existe au moins onze chiens qui ont le meme nombre de taches mod 11 (dont la somme est bien un multiple de 11).
Exo 2: Il faut déjà que Je réfléchis pour la suite...

Pour le premier exercice : c'est également la première idée que j'ai eue, mais cela ne fonctionne pas (il aurait fallu 111 dalmatiens). Pour le deuxième : si je comprends vraiment pourquoi tu as écrit cette relation, alors tu as dû mal comprendre l'énoncé.

Exercice 3: (Niveau prépa/L1-L2)
On dispose de 2n + 1 cailloux. On suppose que chaque sous-ensemble de 2n cailloux peut se partager en deux tas de cailloux de même masse totale. Montrer que tous les cailloux ont la même masse.

Un premier début de réflexion :

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Soit les cailloux. Pour tout , on peut écrire , avec . On reconnaît une égalité matricielle : , avec et . Ce qu'on cherche à montrer, c'est alors que si A n'est pas injective, alors son noyau est engendré par (1,...,1). Je pense qu'un calcul de déterminant devrait suffit, mais je ne sais pas encore si det(A) peut s'exprimer simplement.

[inviteea028771]

Pour l'exercice 3, soit je l'ai mal compris soit c'est faux.

Si on a 5 cailloux qui pèsent respectivement {3,1,1,1,1}, alors quelque soit les 4 cailloux choisis, on peut toujours en faire 2 tas de même poids :
Si on choisi {1,1,1,1} alors les tas sont {1,1} et {1,1}
Si on choisi {3,1,1,1} alors les tas sont {3} et {1,1,1}

[invite705d0470]

Oui Tryss, mais que faire alors des sous ensembles de cardinal 2 ? dans ton cas il peuvent valoir 4 ou 2, selon que ton choix:
{3,1} et {1,1} sont bien des sous ensembles de cardinal pair, n'est ce pas ? Et pourtant leur masse n'est pas égale.
Mais bon, je me trompe peut être ^^

[invite705d0470]

Voici mon intuition, est elle correcte ?
Si on choisit 2n+1 cailloux qui vérifient le problème, en particulier, on peut faire 2 parmis 2n+1= sous ensembles de cardinal 2, non ? Or il faut que tous ces ensembles soient divisibles en parties de mêmes masses, donc dans ce cas en éléments (cailloux) de meme masse. Les cailloux ont donc deux a deux des masses identiques, puisque cette égalité des masses soit être vérifiée pour chaque sous-ensemble de départ (donc par exemple le premier cailloux a la meme masse que le second, mais aussi que le troisième, quatrième ... 2n+1 eme). Des masses identiques me semble alors être une condition nécessaire pour obtenir le résultat souhaite !

[invite705d0470]

Ahah, honte a moi !
Je me permets de reprendre Tryss alors que je ne sais visiblement pas lire l'ennonce moi meme ! En effet, seuls les sous ensembles de cardinal 2n sont partitionnables en parties de masses identiques !
Du coup mon raisonnement devient caduque ... Et celui de Tryss toujours en vigueur !

Encore désole Tryss ! Ça m'apprendra a m'intéresser a des questions trop compliquées pour moi ^^

[Seirios]

Pour l'exercice 3, soit je l'ai mal compris soit c'est faux.

Si on a 5 cailloux qui pèsent respectivement {3,1,1,1,1}, alors quelque soit les 4 cailloux choisis, on peut toujours en faire 2 tas de même poids :
Si on choisi {1,1,1,1} alors les tas sont {1,1} et {1,1}
Si on choisi {3,1,1,1} alors les tas sont {3} et {1,1,1}

Bien vu, il doit certainement falloir supposer que les deux tas contiennent le même nombre de cailloux. Si c'est le cas, je peux terminer le raisonnement que j'avais commencé au message #6 :

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Chaque ligne de la matrice A contient n +1 et n -1, donc si l'on somme les colonnes à la première, on trouve que det(A)=0. De plus, si l'on considère la sous-matrice M de A obtenue en enlevant la premier colonne et la première ligne, alors M est une matrice d'ordre 2n avec des 0 sur la diagonale et des nombres impairs ailleurs. Montrer que M est inversible est un exercice classique il me semble (on envoie la matrice dans Z/2Z, on se retrouve avec une matrice avec des 0 sur la diagonale et des 1 partout ailleurs, on additionne les colonnes à la première, puis on se ramène à une matrice triangulaire en jouant sur les lignes ; on trouve alors que det(M) est un nombre impair, il ne peut donc pas être nul). Dès lors la matrice A est nécessairement de rang 2n, et en particulier son noyau est de dimension 1. Or le vecteur (1,...,1) est clairement dans le noyau, d'où la conclusion.

[Seirios]

Problème 1

Un ami a préparé un paquet de 52 cartes, qu'il a mélangé selon son bon plaisir. Il vous propose le défi suivant. Il va retourner toutes les cartes une par une, et vous pouvez l'arrêter à n'importe quel moment, tant qu'il reste au moins une carte non retournée. A ce moment-là, si la carte suivante est rouge, vous avez gagné et il vous offre une bière (ou un lait de chèvre tiède - grenadine si vous n'aimez pas la bière). Sinon, vous avez perdu, et c'est à vous de lui offrir une bière.

Quelle stratégie adopter pour maximiser vos chances d'obtenir de votre ami un lait de chèvre tiède - grenadine ?

Est-il possible qu'il n'y ait pas de gagnant ? (donc le joueur ne choisit pas de carte)

Problème 2

Votre lait de chèvre vous a rendu, on ne sait comment, complètement ivre, et on se souviendra pour longtemps de votre strip-tease sur le champ de Mars face à une horde de touristes hilares (au mieux). Vous venez donc de vous faire arrêter par la police pour atteinte à la pudeur. Afin d'épargner au monde la vue de votre corps, il vous ont forcé à revêtir une veste et un pantalon, puis vous ont menotté sans ménagement. Hélas, l'extérieur de la veste est d'un marron hideux, alors que le rouge fluo du côté intérieur de la veste irait beaucoup mieux avec votre teint.

Comment faire pour retourner votre veste (sans enlever vos menottes, bien entendu) ?

Y a-t-il des contraintes d'élasticité sur la veste ?

Voici un autre exercice, certainement plus classique dans la résolution :

Exercice 4 :

Sous la dynastie des Tang, au septième siècle en Chine, l’empereur voulut connaitre le nombre exact des ses soldats. Bien qu’il en eût un nombre presque innombrable, il savait qu’il en avait moins d’un demi-million. Il fit alors ranger ses soldats en carrés de trente personnes de coté. Il en resta 156. Il les fit alors se ranger en carrés de trente et une personnes de coté. Il en resta alors 448.
Combien de soldats avait l’armée de l’empereur ?

[invite705d0470]

L'empereur a t'il 123 456 soldats ? (je me permets de l'écrire car la méthode est classique et le raisonnement est plus important que le résultat, donc je pense que ça ne gêne pas bcp de gens, nn ?)

Bon, je n'ai plus fait d'arithmétique depuis le bac, il y a quelques mois, mais il est intéressant de remarquer que le sujet de mon année (2011 donc) était exactement sur cette méthode de résolution !
Comme quoi meme le bac peut servir ^^

[Seirios]

C'est également le résultat que j'ai trouvé. Voici ma solution :

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Le problème revient à résoudre le système d'équations . Or 30 et 31 sont premiers entre eux, donc 30² et 31² également, donc est un isomorphisme de groupes, et comme 30².31² est supérieur à un demi-million, on sait que le système admet une solution et qu'elle est unique. En remarquant que , on trouve que . On se ramène à un nombre inférieur à un demi-million pour trouver : .

[Seirios]

En voici un autre, pas trop difficile :

Exercice 5 :

Considérons un quadrillage de côté 2ⁿ. Est-il toujours possible de construire un pavage de ce quadrillage privé d'une case grâce à des triominos ("dominos à trois cases coudés") ?

[invitea07f6506]

Quelques petits commentaires sur mes problèmes.

Problème 1 : on suppose qu'on est obligé de choisir une carte. Ca ne change pas grand chose : si on refuse de jouer, on est certain de ne rien gagner, donc ce n'est pas une bonne stratégie.
Niveau : disons, M1, certains ont pu voir les outils nécessaires en L3.
Indice : pour ceux qui n'ont pas le M1 en question, essayer de voir ce qu'il se passe avec deux cartes (une rouge, une noire).
Indice avancé :

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Penser martingales.

Problème 2 : on suppose la veste raisonnablement ample, mais pas élastique. Ainsi, il est impossible de passer sa tête par une manche (par exemple). La solution est une manoeuvre que vous devez pouvoir réaliser vous même, avec des vêtements standards. Oh, et je rajoute une condition : on suppose que la veste est boutonnée, et que ne voulez pas enlever les boutons

Problème 3 : il y a du dénombrement non trivial derrière, et je doute qu'on puisse trouver la solution si on ne connaît pas le résultat de dénombrement associé. Je souligne à quel point la stratégie à trouver est efficace. Si tous les prisonniers choisissent au hasard, il y a une chance sur d'être libéré. La stratégie à trouver donne de l'ordre de 37% de chances d'être libéré. Il me semble que la stratégie en question est optimale, même si je n'ai aucune idée de la façon de le prouver.

[invite705d0470]

Ahah, les Olympiades ne t'inspirent elles pas un peu ? ^^

[Médiat]

Exercice 5 :

Considérons un quadrillage de côté 2ⁿ. Est-il toujours possible de construire un pavage de ce quadrillage privé d'une case grâce à des triominos ("dominos à trois cases coudés") ?

Il y a peut-être une solution plus astucieuse, mais une petite récurrence donne la solution.

[EDIT]Cet exercice est généralisable à toutes dimensions, en remplaçant la notion de triomino par celle de presquomino (hypercube de côté 2 - un hypercube de côté 1)[/EDIT]

[Amanuensis]

Exo 1 : (Pas vu que la solution ait été donnée, si oui, milles excuses)

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Prenons les 11 classes modulo 11. Si au moins un chien dans chaque classe, alors suffit de prendre un chien de chaque classe. S'il y a un 0, alors il y a au moins une des 10 autres classes contenant 11 chiens.

[inviteea028771]

[EDIT]Cet exercice est généralisable à toutes dimensions, en remplaçant la notion de triomino par celle de presquomino (hypercube de côté 2 - un hypercube de côté 1)[/EDIT]

Et en dimension infinie ?

(d'ailleurs je viens de me demander à quoi pourrait bien ressembler un hypercube (ou quelque chose qui y ressemble) dans L² par exemple )

[Amanuensis]

Exo 2:

Me paraît pas compliqué, j'ai dû louper quelque chose.

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Condition nécessaire et suffisante : beta rationnel en unité "tour"

[invited5b2473a]

Voilà un autre exercice amusant. Il n'y a pas besoin de grande connaissance particulière :



2 mathématiciens se rencontrent. L'un, Pierre, connaît le produit des deux nombres A et B. L'autre, Sophie, connaît la somme des deux nombres A et B. Chacun des deux sait que ces nombres sont compris entre 2 et 100.
Ils décident d'engager le dialogue :
Pierre : "Je ne peux déterminer les deux nombres".
Sophie : "Ca, je le savais".
Pierre : "Alors, je les ai trouvés".
Sophie : "Dans ce cas, moi aussi".
-> Quels sont les deux nombres (si si c'est possible !) ?

[Seirios]

Exo 1 : (Pas vu que la solution ait été donnée, si oui, milles excuses)

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Prenons les 11 classes modulo 11. Si au moins un chien dans chaque classe, alors suffit de prendre un chien de chaque classe. S'il y a un 0, alors il y a au moins une des 10 autres classes contenant 11 chiens.

J'avais également opté pour cette solution.

Exo 2:

Me paraît pas compliqué, j'ai dû louper quelque chose.

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Condition nécessaire et suffisante : beta rationnel en unité "tour"

Je suis d'accord que la condition est clairement nécessaire, mais qu'est-ce qui la rend clairement suffisante ?

[Amanuensis]

Je suis d'accord que la condition est clairement nécessaire, mais qu'est-ce qui la rend clairement suffisante ?

Parce que l'opération de retournement s'auto-annule tous les deux cycles.

Le principal intérêt de la question, si mon analyse est correcte, est l'ajout d'une donnée sans effet, avec l'attraction usuelle que cela amène...

[invite2b14cd41]

Voilà un autre exercice amusant. Il n'y a pas besoin de grande connaissance particulière :



2 mathématiciens se rencontrent. L'un, Pierre, connaît le produit des deux nombres A et B. L'autre, Sophie, connaît la somme des deux nombres A et B. Chacun des deux sait que ces nombres sont compris entre 2 et 100.
Ils décident d'engager le dialogue :
Pierre : "Je ne peux déterminer les deux nombres".
Sophie : "Ca, je le savais".
Pierre : "Alors, je les ai trouvés".
Sophie : "Dans ce cas, moi aussi".
-> Quels sont les deux nombres (si si c'est possible !) ?

Classique ! (et très long surtout, si je me souviens bien... vaut mieux s'aider d'un ordinateur)
En voici un autre dans le même style, mais beaucoup plus facile (peu de cas à vérifier)

un dialogue entre 2 mathématiciens

"A: Quel sont les âges de tes 3 enfants?

B: Le produit de leurs âges est de 36.

A: Je ne vois pas.

B: Par un étrange hasard, la somme de leurs ages vaut la moitié du tien.

A: Je ne peux toujours pas conclure.

B: L'aîné s'est cassé la jambe lundi dernier.

A: Parfait. Maintenant, je sais quels sont leurs âges. "

--> Vous aussi (ou pas xD).

[invited5b2473a]

Classique ! (et très long surtout, si je me souviens bien... vaut mieux s'aider d'un ordinateur)
En voici un autre dans le même style, mais beaucoup plus facile (peu de cas à vérifier)

un dialogue entre 2 mathématiciens

"A: Quel sont les âges de tes 3 enfants?

B: Le produit de leurs âges est de 36.

A: Je ne vois pas.

B: Par un étrange hasard, la somme de leurs ages vaut la moitié du tien.

A: Je ne peux toujours pas conclure.

B: L'aîné s'est cassé la jambe lundi dernier.

A: Parfait. Maintenant, je sais quels sont leurs âges. "

--> Vous aussi (ou pas xD).

Oui mais utiliser un ordinateur enlève tout le côté amusant.

[invited5b2473a]

Un autre exercice amusant est le paradoxe de Monty Hall :

un animateur TV montre trois portes à un candidats. Il lui dit que derrière l'une se trouve une voiture et les deux autres, rien. Il demande alors au candidat de choisir une des trois. L'animateur alors ouvre une des portes où il n'y a rien et que n'a pas choisie le candidat. Ensuite il demande au candidat s'il veut conserver sa porte ou échanger avec celle restante. Enfin, le candidat peut aller voir ce qu'il y a derrière la porte qu'il a finalement choisie.

Quelle est la meilleure stratégie à adopter par le candidat??

[Amanuensis]

Pour les 101 dalmatiens, la borne est bien inférieure. Avec juste une astuce de plus, je descends (sf erreur) à 79. Et je pense que la borne est bien en-dessous.

[Amanuensis]

Notes de comodo :

1) Ce fil commence à être bien plus du genre qu'on trouve en "science ludique" ;

2) La coutume voulait ne pas mélanger les énigmes dans le même fil , et ce fil-ci commence à être encombré ;

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Par ailleurs, nombres des énigmes proposées sont déjà apparues dans le forum "Science ludique".

[Amanuensis]

Pour les 101 dalmatiens, la borne est bien inférieure. Avec juste une astuce de plus, je descends (sf erreur) à 79. Et je pense que la borne est bien en-dessous.

Après révision de la preuve, je n'ai "que" 85, mais toujours sans grand doute qu'on puisse faire moins.