Suites

[Jon83]

Bonjour!

Soit la suite (n>0)

On définit les suites et

Il est facile de démontrer que a(n) est croissante et que b(n) est décroissante!

ça se complique lorsqu'il faut trouver la limite de b(n)-a(n)....

Je trouve et je ne sais pas comment le calculer???? Ais-je fait une erreur?
Une piste?
-----

[phys4]

Bonjour,

Il y a une petite erreur dans l'écriture de la différence :



Ce sera plus facile comme cela.

[Jon83]

Bonjour,

Il y a une petite erreur dans l'écriture de la différence :



Ce sera plus facile comme cela.

Merci pour ta réponse rapide! Mais je ne comprends pas comment tu arrives a cette expression?
Je dois m'embrouiller avec les indices: je trouve:





donc

Je dois probablement faire une erreur, mais je ne la vois pas????

[Jon83]

coquille: dans le copier-coller de b(n)-u(n) il faut enlever le u(2n+1)!!!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3577cfd]

Salut,

Si je me suis pas trompé, la différence entre u(2n+1)-u(2n) = (4n+1)/(2n(2n+1)) -> 0 en +oo

[invite57a1e779]

Non !!!

[Jon83]

Non !!!

Quand on dit cela ne signifie t-il pas que ne comporte que les termes pairs de ?

[invite3d4a2616]

Je suis d'accord avec God's Breath :

.

[invite3d4a2616]

Par rapport à ta question, ici les u_n sont des sommes de termes. Donc u_2n est la somme dont le dernier terme sera un indice pair et non une somme avec que des termes d'indices pairs (pareil pour b_n avec le dernier terme d'indice impair). Est-ce clair ?

[Jon83]

Par rapport à ta question, ici les u_n sont des sommes de termes. Donc u_2n est la somme dont le dernier terme sera un indice pair et non une somme avec que des termes d'indices pairs (pareil pour b_n avec le dernier terme d'indice impair). Est-ce clair ?

OK, voilà donc mon erreur: j'ai mal interprété les termes....

[Jon83]

Bon, je retrouve vos résultats et j'ai pu conclure l'exercice!
Merci à tous pour votre aide et vos conseils!
Au revoir.

[Jon83]

Juste un petit détail qui me bloque: les résultats précédents permettent de dire que et convergent vers la même limite L.

Donc . Mais comment prouver que u(n) converge vers L?

[invitec336fcef]

U(2n) est croissante majorée par L, elle converge donc vers L. U(2n+1) est décroissante minorée par L, elle converge donc vers L. Conclusions : quel que soit n, Un converge vers L.

[invite57a1e779]

Conclusions : quel que soit n, Un converge vers L.

Cette phrase n'a pas grand sens.

[invite3d4a2616]

Mais comment prouver que u(n) converge vers L?

Ce n'est pas un détail si c'est le but de ton exercice. En fait, il y a une propriété qui dit que : (u_n) converge vers l ssi (u_2n) et (u_2n+1) convergent vers une même limite l (l'implication directe est vraie pour n'importe quelle suite extraite et la réciproque (que tu utilises dans cet exercice) s'obtient avec une réécriture de la définition de la convergence d'une suite ...). Si tu veux la démo de la réciproque, on peut te la donner mais c'est un bon exercice de travail autour de la définition d'une suite convergente avec la gestion du epsilon.

[Jon83]

Si tu veux la démo de la réciproque, on peut te la donner

Avec plaisir ...

[invite3d4a2616]

Soit .





Posons : .



si p = 2n alors et donc
si p = 2n+1 alors et donc

Ainsi, CQFD

[Jon83]

Soit .





Posons : .



si p = 2n alors et donc
si p = 2n+1 alors et donc

Ainsi, CQFD

Bonjour!
Super! Merci pour ta démo.

[invitec336fcef]

Cette phrase n'a pas grand sens.

certes, je voulais dire : à partir d'un certain rang, Un converge vers L.