suites

[invite56f88dc9]

Bonjour.
J'ai quelques petit soucis avec un exo qui me paraît pas être compliqué.
Voici l'enoncé :
On pose W_n=somme (1/i) pour i variant de 1 à n
Vérifier qu'elle est croissante.

(ça c'est trop simple il suffit de faire w_n+1-w2 et on trouve un nombre qui est positif)

Prouver que W_2n-W_n > (1/2). En déduire que (W_n)n€N ne peut converger et donc tend vers + l'infini.

W_2n-W_n= 1/(n+1) .... (1/2n)

Je me dis que si on prend n=0 on a W_n= 1 >(1/2) et donc que forcément W_n > (1/2) mais ça ne me paraît pas très convaincant et je bloque un peu pour la dernière question.
Merci de m'aider.
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[invitedef78796]

Salut,

Tu peux écrire que pour tout entier k compris entre 1 et n, .

Je te laisse la suite...

@+

[invite636fa06b]

Il te suffit de remarquer que si k est compris entre 1 et n
(n+k) < 2n et donc 1/(n+k) > 1/2n et de dire que chacun des termes de ta somme est plus grand que 1/2n etc...
edit : Grillé

[invite2c7b18e3]

A mon avis une interprétation graphique est plus rapide : tracer le graphe de remarque que la suite donnée est la somme des aires de certains rectangles. Commence par le premier rectangle de sommets et le dernier rectangle étant celui de sommets La somme des aires de ces rectanglgles devrait être la somme . Graphiquement on s'aperçoit que la somme de ces aires ne dépasse pas celle du rectangle de sommets laquelle aire devrait être (1/2).

Malheureusement de telles démonstrations peuvent être bannies par de furieux gaulois pour lesquels les maths sont une hose sérieuse. Dans ce cas il faut les réecrire en un langage plus sérieux.

C'est pour cela qu'on parachute aus débutants l'argument de IceDL sans expliquer d'où il vient : c'est tout bêtement, comme c'est aussi le cas de l'interprétation graphique, la décroissance de la plus bête des fonctions à savoir autrement dit la croissance de la plus simple des fonctions à savoir . Oh! excuses il fallait peut être écrire la fonction .

Bon courage et n'oublie de te conformer aux consignes des maîtres

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56f88dc9]

Je ne vois pas ou Zinia veut en venir...(j'ai pas capté)

[invitedef78796]

A mon avis une interprétation graphique est plus rapide

Je n'ai rien contre les interprétations graphiques mais là en terme de simplicité ça se discute...

Malheureusement de telles démonstrations peuvent être bannies par de furieux gaulois pour lesquels les maths sont une hose sérieuse. Dans ce cas il faut les réecrire en un langage plus sérieux.

Je cherchais justement un surnom ou un truc à mettre dans ma signature, c'est gentil de m'y aider.

Je ne vois pas ou Zinia veut en venir

L'idée de Zinia et de minorer en minorant chacun des termes de la somme



On remarque que :



De plus, quand i est un entier naturel compris entre 0 et n on a donc et donc

Après il ne te reste plus qu'à sommer toutes ces inégalités pour i variant de 0 à n

Est ce que tu y vois mieux ?

[invite636fa06b]

Je ne vois pas ou Zinia veut en venir...(j'ai pas capté)

C'est exactement la même démarche que celle d'IceDL, on écrit que chacun des termes de la formule que tu as écrite sur ton premier post est supérieur à 1/2n
EDIT encore grillé

[invite56f88dc9]

Merci, j'ai parfaitement compris et je vais chercher la convergence.
Le seul hic c'est qu'on veut démontrer au sens strict et non large...

[invitedef78796]

Merci, j'ai parfaitement compris et je vais chercher la convergence.
Le seul hic c'est qu'on veut démontrer au sens strict et non large...

Certes, mais tu pourras vérifier que en étant un peu plus précis l'inégalité est toujours stricte pour ...

[invite2c7b18e3]

Alors, cette convergence ou plutôt divergene ça marche ou non

[invite56f88dc9]

pas encore trouvé (je suis vraiment une *****)
Je ne vois pas quel propriété utiliser en sachant que mon cours ne doit pas être complet.

[invite56f88dc9]

Je vais essayer de raisoner par l'absurde.

[invite2c7b18e3]

Toujours ramer et enfin arriver à bon port.

Une indication voir la partie du cours relative aux érations sur les limites type somme produit quotient de suites convergentes. Partie rébarbative mais souvent utile pour conclure à la convergence ou divergence d'une suite

[invite56f88dc9]

Je pense avoir trouvé.
Voulez vous confirmer que les suites W_2n et W_n ont les mêmes limites.
Si oui, alors
Si (Wn) converge vers une limite l réel alors W2n-Wn converge vers l - l c'est à dire 0 .
Or on a prouvé que w2n-w2 > (1/2) donc contradiction.
Comme de plus la suite est croissante elle tend vers + l'infini.

[invite2c7b18e3]

BRAVO plus rien à dire pour cet exo. Plus tard on te demandera de montrer que converge vers . Aie Aie
A propos, la suite est appelée suite harmonique et elle est notée plutôt par lesquels sont les nombres harmoniques.

[invite56f88dc9]

une suite qui tend vers ln2 j'ai l'impression d'en avoir entendu parler en terminale...
(Ma prof n'a pas dit que les suites extraites avaient la même limite, ... mais j'aurais du deviner plutot.