Besoin d'une corrrection sur les Logarithme s'il vous plait

[invite3b09ac13]

j'aurai besoin d'une correction sur les logarithmes!

Soit P(x)=-x³ -3x²+6x+8

1/ Montrer que P(x) peut sécrire sous la forme de P(x)=(x+1)(-x²-2x+8)

2/ Résoudre P(x)=0

3/ Résoudre les équations et inéquations suivantes:

a/ -(lnx)³ -3(lnx)²+6lnx+8=o
b/-(lnx)³ -3(lnx)²+6lnx+8 <0
c/ln2+ln(x²+3x+4)=2lnx+ln(x+5)
d/ln2+ln(x²+3x+4 < 2lnx+ln(x+5)


Mes Réponses:

1/ pour montrer que P(x) peut s'écrire (x+1)(-x²-2x+8) il suffit de développer l'expression et de constater qu'elle est bien égale à -x³ -3x²+6x+8

(x+1)(-x²-2x+8)= -x³ -3x²+6x+8
-x³ -2x²+8x-x²-2x+8=-x³ -3x²+6x+8
-x³ -3x²+6x+8=-x³ -3x²+6x+8
On retome bien sur l'expression de départ. Donc P(x) peut s'écrire de la forme (x+1)(-x²-2x+8)

2/Pour résoudre P(x)=0:
il faut que x+1=0 soit x=-1
et que -x²-2x+8=0
Calcul du discriminant:=36 donc
x'=2et x"=-4
Les solutions de l'équation sont x=-1, x=2, et x=-4.

3/ Résolvons les équations et inéquations:

a/-(lnx)³ -3(lnx)²+6lnx+8=0
Soit P(ln(x))=0 donc x=-1;2;-4. donc
cela équivaut à ln(x)=-1 donc x=e^-1
ln(x)=2 donc x=e^2
ln(x)=-4 donc x=e^-4

b/ -(lnx)³ -3(lnx)²+6lnx+8<0 soit P(x)<0 pour x réel
P(x)<0 pour tout x appartenant à l'intervalle ]-4;-1[U]2;+oo[ la fonction ln est strictement croissante.
P(ln(x)<0 revient à dire que -4<ln(x)<0 ou 2<ln(x) donc x supérieur à e^-4 et x supérieur à e².

c/ln2+ln(x²+3x+4)=2lnx+ln(x+5)
x²+3x+4 est strictement supérieur à 0 et x supérieur à 0 sinon ln(x) n'éxiste pas.
Alors:
ln(2(x²+3x+4))=ln(x²(x+5))
2x²+6x+8=x^3+5x²
-x^3+3x²+6x+8=0
On retrouve l'équation résolue au point 2. il faut écarter la solution -4 et -1 car c'est négatif.

d/ ln2+ln(x²+3x+4)<2lnx+ln(x+5)
ln(2(x²+3x+4))<ln(x²(x+5))
2x²+6x+8<x^3+5x²
-x^3+3x²+6x+8<0
donc x supérieur à e^-4 et x supérieur à e²

J'espère que je ne me suis pas trompée! Merci de vérifier.
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[invitebb921944]

a/-(lnx)3 -3(lnx)²+6lnx+8=0
Soit P(ln(x))=0 donc x=-1;2;-4.

donc ln(x)=-1;2;-4 mais je suppose que c'est une erreur d'inatention car tu sembles avoir compris.

[invite3b09ac13]

Oui merci c'est ln(x) qui vaut -1/2/-4

[invitec314d025]

2/Pour résoudre P(x)=0:
il faut que x+1=0 soit x=-1
et que -x²-2x+8=0

tu remplaces le "et" par un "ou" et c'est bon.

a/-(lnx)³ -3(lnx)²+6lnx+8=0
Soit P(ln(x))=0 donc x=-1;2;-4.

C'est bien évidemment ln(x) = -1;2;-4 mais ça déjà été dit.

b/ -(lnx)³ -3(lnx)²+6lnx+8<0 soit P(x)<0 pour x réel
P(x)<0 pour tout x appartenant à l'intervalle ]-4;-1[U]2;+oo[ la fonction ln est strictement croissante.
P(ln(x)<0 revient à dire que -4<ln(x)<0 ou 2<ln(x) donc x supérieur à e^-4 et x supérieur à e².

C'est P(ln(x)) < 0 avec x > 0 pour que le ln soit défini.
Tu as donc -4<ln(x)<-1 (et pas -4<ln(x)<0), ou 2<ln(x)
Comme ln est strictement croissante (c'est ici seulement que ça intervient), tu en déduis:
e^(-4)<x<e^(-1) OU x>e²

c/ln2+ln(x²+3x+4)=2lnx+ln(x+5)
x²+3x+4 est strictement supérieur à 0 et x supérieur à 0 sinon ln(x) n'éxiste pas.
Alors:
ln(2(x²+3x+4))=ln(x²(x+5))
2x²+6x+8=x^3+5x²
-x^3+3x²+6x+8=0
On retrouve l'équation résolue au point 2. il faut écarter la solution -4 et -1 car c'est négatif.

N'oublie pas x>-5 aussi pour l'ensemble de définition (ici ça ne change rien puisque tu as déjà x>0)

d/ ln2+ln(x²+3x+4)<2lnx+ln(x+5)
ln(2(x²+3x+4))<ln(x²(x+5))
2x²+6x+8<x^3+5x²
-x^3+3x²+6x+8<0
donc x supérieur à e^-4 et x supérieur à e²

D'où sortent tes exponentielles dans les solutions. Tu as montré que l'inéquation était équivalente à P(x)<0 pas à P(ln(x))<0 (et x doit être dans l'ensemble de définition en plus).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3b09ac13]

d/ ln2+ln(x²+3x+4)<2lnx+ln(x+5)
ln(2(x²+3x+4))<ln(x²(x+5))
2x²+6x+8<x^3+5x²
-x^3+3x²+6x+8<0
c'est que ]2;+00[ non? puisque l'ensemble de définition est ]o;+00[

[invitec314d025]

c'est que ]2;+00[ non? puisque l'ensemble de définition est ]o;+00[

Oui c'est ça.

[invite3b09ac13]

Merci beaucoup Mr Mattihas toujours là quand il le faut!
Mieux que Super Man lol