Besoin d'une corrrection sur les Logarithme s'il vous plait
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Besoin d'une corrrection sur les Logarithme s'il vous plait



  1. #1
    invite3b09ac13

    Besoin d'une corrrection sur les Logarithme s'il vous plait


    ------

    j'aurai besoin d'une correction sur les logarithmes!

    Soit P(x)=-x3 -3x²+6x+8

    1/ Montrer que P(x) peut sécrire sous la forme de P(x)=(x+1)(-x²-2x+8)

    2/ Résoudre P(x)=0

    3/ Résoudre les équations et inéquations suivantes:

    a/ -(lnx)3 -3(lnx)²+6lnx+8=o
    b/-(lnx)3 -3(lnx)²+6lnx+8 <0
    c/ln2+ln(x²+3x+4)=2lnx+ln(x+5)
    d/ln2+ln(x²+3x+4 < 2lnx+ln(x+5)


    Mes Réponses:

    1/ pour montrer que P(x) peut s'écrire (x+1)(-x²-2x+8) il suffit de développer l'expression et de constater qu'elle est bien égale à -x3 -3x²+6x+8

    (x+1)(-x²-2x+8)= -x3 -3x²+6x+8
    -x3 -2x²+8x-x²-2x+8=-x3 -3x²+6x+8
    -x3 -3x²+6x+8=-x3 -3x²+6x+8
    On retome bien sur l'expression de départ. Donc P(x) peut s'écrire de la forme (x+1)(-x²-2x+8)

    2/Pour résoudre P(x)=0:
    il faut que x+1=0 soit x=-1
    et que -x²-2x+8=0
    Calcul du discriminant:=36 donc
    x'=2et x"=-4
    Les solutions de l'équation sont x=-1, x=2, et x=-4.

    3/ Résolvons les équations et inéquations:

    a/-(lnx)3 -3(lnx)²+6lnx+8=0
    Soit P(ln(x))=0 donc x=-1;2;-4. donc
    cela équivaut à ln(x)=-1 donc x=e^-1
    ln(x)=2 donc x=e^2
    ln(x)=-4 donc x=e^-4

    b/ -(lnx)3 -3(lnx)²+6lnx+8<0 soit P(x)<0 pour x réel
    P(x)<0 pour tout x appartenant à l'intervalle ]-4;-1[U]2;+oo[ la fonction ln est strictement croissante.
    P(ln(x)<0 revient à dire que -4<ln(x)<0 ou 2<ln(x) donc x supérieur à e^-4 et x supérieur à e².

    c/ln2+ln(x²+3x+4)=2lnx+ln(x+5)
    x²+3x+4 est strictement supérieur à 0 et x supérieur à 0 sinon ln(x) n'éxiste pas.
    Alors:
    ln(2(x²+3x+4))=ln(x²(x+5))
    2x²+6x+8=x^3+5x²
    -x^3+3x²+6x+8=0
    On retrouve l'équation résolue au point 2. il faut écarter la solution -4 et -1 car c'est négatif.

    d/ ln2+ln(x²+3x+4)<2lnx+ln(x+5)
    ln(2(x²+3x+4))<ln(x²(x+5))
    2x²+6x+8<x^3+5x²
    -x^3+3x²+6x+8<0
    donc x supérieur à e^-4 et x supérieur à e²

    J'espère que je ne me suis pas trompée! Merci de vérifier.

    -----

  2. #2
    invitebb921944

    Re : Besoin d'une corrrection sur les Logarithme s'il vous plait

    a/-(lnx)3 -3(lnx)²+6lnx+8=0
    Soit P(ln(x))=0 donc x=-1;2;-4.
    donc ln(x)=-1;2;-4 mais je suppose que c'est une erreur d'inatention car tu sembles avoir compris.

  3. #3
    invite3b09ac13

    Re : Besoin d'une corrrection sur les Logarithme s'il vous plait

    Oui merci c'est ln(x) qui vaut -1/2/-4

  4. #4
    matthias

    Re : Besoin d'une corrrection sur les Logarithme s'il vous plait

    Citation Envoyé par stefouille31
    2/Pour résoudre P(x)=0:
    il faut que x+1=0 soit x=-1
    et que -x²-2x+8=0
    tu remplaces le "et" par un "ou" et c'est bon.

    Citation Envoyé par stefouille31
    a/-(lnx)3 -3(lnx)²+6lnx+8=0
    Soit P(ln(x))=0 donc x=-1;2;-4.
    C'est bien évidemment ln(x) = -1;2;-4 mais ça déjà été dit.

    Citation Envoyé par stefouille31
    b/ -(lnx)3 -3(lnx)²+6lnx+8<0 soit P(x)<0 pour x réel
    P(x)<0 pour tout x appartenant à l'intervalle ]-4;-1[U]2;+oo[ la fonction ln est strictement croissante.
    P(ln(x)<0 revient à dire que -4<ln(x)<0 ou 2<ln(x) donc x supérieur à e^-4 et x supérieur à e².
    C'est P(ln(x)) < 0 avec x > 0 pour que le ln soit défini.
    Tu as donc -4<ln(x)<-1 (et pas -4<ln(x)<0), ou 2<ln(x)
    Comme ln est strictement croissante (c'est ici seulement que ça intervient), tu en déduis:
    e^(-4)<x<e^(-1) OU x>e²

    Citation Envoyé par stefouille31
    c/ln2+ln(x²+3x+4)=2lnx+ln(x+5)
    x²+3x+4 est strictement supérieur à 0 et x supérieur à 0 sinon ln(x) n'éxiste pas.
    Alors:
    ln(2(x²+3x+4))=ln(x²(x+5))
    2x²+6x+8=x^3+5x²
    -x^3+3x²+6x+8=0
    On retrouve l'équation résolue au point 2. il faut écarter la solution -4 et -1 car c'est négatif.
    N'oublie pas x>-5 aussi pour l'ensemble de définition (ici ça ne change rien puisque tu as déjà x>0)

    Citation Envoyé par stefouille31
    d/ ln2+ln(x²+3x+4)<2lnx+ln(x+5)
    ln(2(x²+3x+4))<ln(x²(x+5))
    2x²+6x+8<x^3+5x²
    -x^3+3x²+6x+8<0
    donc x supérieur à e^-4 et x supérieur à e²
    D'où sortent tes exponentielles dans les solutions. Tu as montré que l'inéquation était équivalente à P(x)<0 pas à P(ln(x))<0 (et x doit être dans l'ensemble de définition en plus).

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite3b09ac13

    Re : Besoin d'une corrrection sur les Logarithme s'il vous plait

    d/ ln2+ln(x²+3x+4)<2lnx+ln(x+5)
    ln(2(x²+3x+4))<ln(x²(x+5))
    2x²+6x+8<x^3+5x²
    -x^3+3x²+6x+8<0
    c'est que ]2;+00[ non? puisque l'ensemble de définition est ]o;+00[

  7. #6
    matthias

    Re : Besoin d'une corrrection sur les Logarithme s'il vous plait

    Citation Envoyé par stefouille31
    c'est que ]2;+00[ non? puisque l'ensemble de définition est ]o;+00[
    Oui c'est ça.

  8. #7
    invite3b09ac13

    Re : Besoin d'une corrrection sur les Logarithme s'il vous plait

    Merci beaucoup Mr Mattihas toujours là quand il le faut!
    Mieux que Super Man lol

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