Liste de profils typiques de courbes

[invite2313209787891133]

Bonjour

Dans le cadre de mon travail je suis souvent amené à faire des régressions sur des séries de données. Le plus souvent je choisi mon équation de courbe "au feeling", mais je me demandais si il n'existerai pas quelque part une liste de régressions types, associés aux allures de courbes correspondantes (ce que l'on voit sur Excel quand on choisi une régression, mais avec plus de possibilités).
Il ne me resterai alors plus qu'à rechercher les coefficient pour faire coller mon modèle aux valeurs.

Merci d'avance.
-----

[invite11916bb0]

je ne sais pas si j'ai vraiment compris ce que tu cherchais, mais cherche du coté des polynômes de Lagrange (ceux qui prennent des valeurs prédeterminées en certains points). Tu peux en avoir une expression assez aisément, cherche sur google pour en savoir plus. Ca te permettera d'avoir des courbes qui passent le plus prés possible de tous tes points, s'il y en a un nombre finie. Aprés si ce n'est pas ce que tu cherches, désolé...

[invite2313209787891133]

Merci pour ta réponse

Non, ce n'est pas exactement ce que je cherche. Je vais par exemple avoir une série de points qui vont tracer une courbe, et je vais rechercher une équation qui s'en approche le plus possible. Certains profils de courbes sont assez faciles à déterminer, comme des polynômes, d'autres sont plus difficiles à trouver et font intervenir des équations plus complexes.
Ce que je cherche c'est une sorte de liste de fonctions, avec à chaque fois le tracé afin de repérer visuellement quel modèle je pourrais utiliser.

[invite2313209787891133]

A défaut de réponse est ce que quelqu'un saurait me conseiller un endroit où je pourrais poser ma question ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14cee04b]

Tu peux le faire ici ^^
Pour t'apporter un peu d'aide, je proposerai de "transformer ta courbe"...
Si par exemple elle a des allures de racines de quelque chose, tu la met au carré puis tu as un polynôme tout bête.
Le tout est de se rapprocher d'une fonction connue !!

Blender82

[invite2313209787891133]

Merci pour ta réponse, mais j'en reviens au même problème; pour savoir si la fonctionne ressemble à une racine je dois connaitre la forme de la courbe. Bien sur avec cet exemple je le devinerai sans avoir de visuel, mais avec une fonction un peu plus complexe je ne pourrai pas forcément le faire.

[invite14cee04b]

Bah si ; t'essaye un peu tout ! ^^
Mais il faut avoir un peu de jugeote
Si tu discerne un truc du genre fonction inverse, tu met ta fonction au carré et tu as de nouveau une fonction reconnaissable...
C'es à force de "rafistolage" que l'on détermine une fonction
Peut être qu'il y a d'autres protocoles un peu plus cartésiens mais c'est ce qui me semble le plus simple.

Blender82

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je me suis fait un petit outil pour réaliser cela.
Il n'y a en fait que 4 courbes
1- linéaire
2- exponentielle
3- logarithmique
4- puissance.
On donne la liste des couples XY, le programme calcule les 4, dit laquelle est la meilleur, et on peut aussi le forcer à choisir.
La seule condition est que les courbes soient monotones.
Si vous voulez, envoyez-moi une liste de couples XY qui vous pose problème, je vous dirai ce que mon outil a trouvé et la précision obtenue.

[inviteea028771]

Bah oui mais tu ne réponds pas à son problème... Par exemple si je te donne les points d'une sigmoïde ton logiciel ne va pas donner un bon résultat.

Sinon Dudulle, je pense malheureusement que rien ne remplace l'expérience dans ce domaine :/

A noter que la nature et l'origine des données peut orienter le choix de la courbe.

[Dlzlogic]

Bah oui mais tu ne réponds pas à son problème... Par exemple si je te donne les points d'une sigmoïde ton logiciel ne va pas donner un bon résultat.

Sinon Dudulle, je pense malheureusement que rien ne remplace l'expérience dans ce domaine :/

A noter que la nature et l'origine des données peut orienter le choix de la courbe.

Oui, je sais bien, mais soit on connait la courbe concernée, et alors on mesure les écarts avec la courbe théorique, soit on veut numériser une liste de couples et dans le cas des hypothèses que j'ai indiquées, cela convient.
A noter que j'ai aussi étendu ma fonction à la numérisation de triplets.
Rien de tel que de faire des essais.

[invite2313209787891133]

Merci pour ces nouvelles réponses.

J'ai posté un exemple en bas de page. Pour information ces séries de points sont issues de simulations numériques, permettant d'obtenir un résultat en fonction d'une seule variable d'entrée d'un système physique plus complexe.
Je vais donc rechercher une fonction mathématique permettant de coller au mieux avec cette fonction de transfert pour chaque variable d'entrée, puis sur un tableur Excel je vais rechercher le cas idéal (permettant d'obtenir un résultat optimisé en fonction de plusieurs variables). Éventuellement je construis une feuille avec des curseurs à bouger pour montrer visuellement l'impact de tel ou tel paramètre sur le résultat final.
Je ne sais pas si j'ai été très clair...

0.5	0.905435
0.545454	0.904935
0.590909	0.90446
0.636363	0.904006
0.681818	0.903571
0.727272	0.903151
0.772727	0.902744
0.818181	0.902349
0.863636	0.901964
0.90909	0.901587
0.954545	0.901217
0.999999	0.900853
1.04545	0.900494
1.09091	0.90014
1.13636	0.899789
1.18182	0.89944
1.22727	0.899094
1.27273	0.89875
1.31818	0.898407
1.36364	0.898064
1.40909	0.897722
1.45454	0.89738
1.5	0.897038
1.54545	0.896695
1.59091	0.896352
1.63636	0.896007
1.68182	0.895661
1.72727	0.895313
1.77273	0.894963
1.81818	0.894611
1.86363	0.894257
1.90909	0.893901
1.95454	0.893541
2	0.893179
2.04545	0.892814
2.09091	0.892446
2.13636	0.892074
2.18182	0.891699
2.22727	0.89132
2.27273	0.890936
2.31818	0.890549
2.36363	0.890157
2.40909	0.88976
2.45454	0.889359
2.5	0.888952
2.54545	0.88854
2.59091	0.888123
2.63636	0.887699
2.68182	0.887269
2.72727	0.886833
2.77272	0.88639
2.81818	0.88594
2.86363	0.885482
2.90909	0.885017
2.95454	0.884543
3	0.88406
3.04545	0.883569
3.09091	0.883068
3.13636	0.882556
3.18182	0.882034
3.22727	0.881501
3.27272	0.880956
3.31818	0.880398
3.36363	0.879827
3.40909	0.879241
3.45454	0.878641
3.5	0.878024
3.54545	0.87739
3.59091	0.876738
3.63636	0.876067
3.68181	0.875374
3.72727	0.874659
3.77272	0.87392
3.81818	0.873154
3.86363	0.87236
3.90909	0.871535
3.95454	0.870676
4	0.869781
4.04545	0.868845
4.09091	0.867864
4.13636	0.866834
4.18181	0.865748
4.22727	0.864601
4.27272	0.863384
4.31818	0.862088
4.36363	0.860702
4.40909	0.859211
4.45454	0.857598
4.5	0.855841
4.54545	0.853911
4.5909	0.851771
4.63636	0.84937
4.68181	0.846634
4.72727	0.843453
4.77272	0.839649
4.81818	0.834913
4.86363	0.828647
4.90909	0.819573
4.95454	0.80479
5	0.778685

[doul11]

Bonsoir,

Les asymptotes donnent des informations utiles : une partie linéaire sur le début, une asymptote verticale vers 5, ça ressemble a une courbe de logarithme, après comme tu le dit il faut ajuster les paramètres et voir si la différence avec la courbe de départ est acceptable.

Peut être que la dérivé peut donner des infos pour la forme générale et sur des points précis ou la dérivé est nulle, on peut aussi avoir des joyeusetés comme des fonctions définies pas parties

[invite2313209787891133]

on peut aussi avoir des joyeusetés comme des fonctions définies pas parties

En fait c'est ce que je fais déjà quand je ne trouve pas de modèle satisfaisant ; si les points sont rapprochés une simple interpolation linéaire sur chaque intervalle permet d'avoir un modèle très proche de la série de valeur, mais c'est assez lourd à mettre en place, et à utiliser ensuite...

[Dlzlogic]

Bonjour,
La liste donnée ne donne pas de résultats très satisfaisants, en tout cas moins bons que ce que je vois d'habitude. Je n'ai pas vu d'erreur, je ne sais donc pas pourquoi.
Il y a 100 couples, ce qui est beaucoup.
Pour ce genre d'opération, à mon avis, il y a 3 possibilités
1- on connait la fonction théorique qui peut comporter toute sorte d'expression de la variable x avec des paramètres. L'opération consistera à trouver les paramètres de façon à minimiser les écarts.
2- on ne connait pas la fonction théorique et on admet que l'une des 4 représentations devrait donner une approximation satisfaisante. Si le coefficient de régression est satisfaisant, ce qui n'est pas le cas pour cet exemple, la fonction obtenue est adoptée, et on peut calculer des valeurs intermédiaires.
3- la courbe représentative de la fonction ne correspond à rien de facilement numérisable. Cependant on veut obtenir un moyen de calculer des valeurs intermédiaires. La meilleure solution me parait être de transformer cette "ligne brisée" en succession d'arcs de parabole tangents. On obtient ainsi une courbe lissée avec une interpolation facile et rapide.

[invite2313209787891133]

Cette série de points est issue d'une simulation assez complexe, il n'est pas vraiment possible de déterminer le profil théorique.
Par expérience je sais que pour ce type de courbe je vais utiliser un modèle de type a+ b x log (c-x), mais il faut avouer que ce n'est pas forcément "évident", d'où ma demande.

[Dlzlogic]

Cette série de points est issue d'une simulation assez complexe, il n'est pas vraiment possible de déterminer le profil théorique.
Par expérience je sais que pour ce type de courbe je vais utiliser un modèle de type a+ b x log (c-x), mais il faut avouer que ce n'est pas forcément "évident", d'où ma demande.

En fait, le problème vient de ce que je dois traiter le cas X = (c-x), que je ne traitais pas. Je vais arranger ça très vite, et par la même occasion, je verrai si il n'y a pas lieu de prévoir d'autres changements de variables de ce type.
Si vous pensez à d'autres formules type, je suis preneur. Mais, étant donné ma méthode de calcul, je ne pense pas pouvoir rajouter autre chose que des changements de variable comme celui-ci.
Je vous tiens au courant.

[Dlzlogic]

Cette série de points est issue d'une simulation assez complexe, il n'est pas vraiment possible de déterminer le profil théorique.
Par expérience je sais que pour ce type de courbe je vais utiliser un modèle de type a+ b x log (c-x), mais il faut avouer que ce n'est pas forcément "évident", d'où ma demande.

Bonjour,
Je crois avoir trouvé une solution à votre problème.
Je vous avais parlé de ma version avec 3 variables. Dans le cas de votre liste, j'ai répété une variable en changeant son signe. La difficulté était ce sens de variation. Donc, comme certaines variables sont négatives, chose de la fonction log n'aime pas du tout, le programme calcule un delta, alors tout se passe bien.
Pour faire mes essai je n'ai gardé que 2 couples sur 10 et le résultat est celui-ci

N° 1 x=0.50 y=-0.50 z=0.91
N° 2 x=0.73 y=-0.73 z=0.90
N° 3 x=1.00 y=-1.00 z=0.90
N° 4 x=1.23 y=-1.23 z=0.90
N° 5 x=1.50 y=-1.50 z=0.90
N° 6 x=1.73 y=-1.73 z=0.90
N° 7 x=2.00 y=-2.00 z=0.89
N° 8 x=2.23 y=-2.23 z=0.89
N° 9 x=2.50 y=-2.50 z=0.89
N° 10 x=2.73 y=-2.73 z=0.89
N° 11 x=3.00 y=-3.00 z=0.88
N° 12 x=3.23 y=-3.23 z=0.88
N° 13 x=3.50 y=-3.50 z=0.88
N° 14 x=3.73 y=-3.73 z=0.87
N° 15 x=4.00 y=-4.00 z=0.87
N° 16 x=4.23 y=-4.23 z=0.86
N° 17 x=4.50 y=-4.50 z=0.86
N° 18 x=4.73 y=-4.73 z=0.84
N° 19 x=5.00 y=-5.00 z=0.78
TRANSLATION Cx=-0.000 Cy=5.050 Cz=-0.000
Cas traité 1 (Axe Z nbp=19) A=24.499 B=24.516 C=-122.882 emq=0.016 (vérifier le N° 19)
Cas traité 2 (Axe Z nbp=19) A=0.043 B=0.037 C=0.758 emq=0.014 (vérifier le N° 19)
Cas traité 3 (Axe Z nbp=19) A=0.003 B=0.029 C=0.856 emq=0.003 (vérifier le N° 19)
Cas traité 4 (Axe Z nbp=19) A=30.230 B=30.250 C=-152.840 emq=0.016 (vérifier le N° 19)
Cas traité 5 (Axe Z nbp=19) A=0.003 B=0.027 C=0.862 emq=0.003 (vérifier le N° 19)
Cas traité 6 (Axe Z nbp=19) A=0.005 B=0.036 C=-0.161 emq=0.003 (vérifier le N° 19)
Cas traité 7 (Axe Z nbp=19) A=0.052 B=0.043 C=-0.275 emq=0.014 (vérifier le N° 19)
Cas traité 8 (Axe Z nbp=19) A=0.005 B=0.033 C=-0.151 emq=0.003 (vérifier le N° 19)

Le meilleur 3 A=0.00311 B=0.0295 C=0.856 (emq=0.00)
TRANSLATION Cx=-0.00000 Cy=5.05 Cz=-0.00000
formule : Z = A * X + B * ln(Y) + C (ln(...) = logarithme naturel)

N° 1 X= 0.50 Y= -0.50 --> Z= 0.90
N° 2 X= 0.73 Y= -0.73 --> Z= 0.90
N° 3 X= 1.00 Y= -1.00 --> Z= 0.90
N° 4 X= 1.23 Y= -1.23 --> Z= 0.90
N° 5 X= 1.50 Y= -1.50 --> Z= 0.90
N° 6 X= 1.73 Y= -1.73 --> Z= 0.90
N° 7 X= 2.00 Y= -2.00 --> Z= 0.89
N° 8 X= 2.23 Y= -2.23 --> Z= 0.89
N° 9 X= 2.50 Y= -2.50 --> Z= 0.89
N° 10 X= 2.73 Y= -2.73 --> Z= 0.89
N° 11 X= 3.00 Y= -3.00 --> Z= 0.89
N° 12 X= 3.23 Y= -3.23 --> Z= 0.88
N° 13 X= 3.50 Y= -3.50 --> Z= 0.88
N° 14 X= 3.73 Y= -3.73 --> Z= 0.88
N° 15 X= 4.00 Y= -4.00 --> Z= 0.87
N° 16 X= 4.23 Y= -4.23 --> Z= 0.86
N° 17 X= 4.50 Y= -4.50 --> Z= 0.85
N° 18 X= 4.73 Y= -4.73 --> Z= 0.84
N° 19 X= 5.00 Y= -5.00 --> Z= 0.78
---------------------------------------------

Il n'est imprimé que 2 décimales, mais une emq (écart-type) de 0.003, on peut difficilement espérer mieux.
Contactez moi et je vous enverrai l'outil qui fait cela.

[invite2313209787891133]

Bonjour

Ça ne répond pas tout a fait à ma question d'origine, mais je suis bien sur intéressé pour en apprendre plus sur la méthode utilisée.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Oui, je sais très bien que ça ne répond pas du tout à la question de départ, pour laquelle je n'ai pas de solution.
Par contre, voila le principe de ma méthode.
Soit un ensemble de triplets observés. Géométriquement, cela représente une surface. On se propose de trouver une fonction de x,y et z telle que la somme des carrés des écarts entre le valeurs observés et les valeurs calculés soit minimum.

On peut utiliser 4 fonctions différentes
- linéaire
- exponentielle
- logarithmique
- puissance.
La fonction choisie comme étant la meilleure, au sens "la plus probable" est un assemblage de 3 d'entre-elles. Géométriquement, cela peut être assimilé à un changement de base de chacun des axes de référence.
Il y donc 12 possibilités.

La méthode consiste à trouver le plan, transformé de la surface connue par ses triplets, le plus plan possible. Etant donné qu'il y a 3 axes on choisira la direction préférentielle la meilleure, soit 36 calculs possibles.
En fait le programme choisi tout de suite la direction préférentielle et ne réalise que 12 calculs.

Pour chaque calcul, c'est à dire l'utilisation de 3 formules, une pour chaque variable, le programme calcule l'écart moyen quadratique du résultat. C'est celui qui est le plus faible qui correspondra au résultat le plus probable.

L'utilisation de cette méthode avec des couples et non des triplets n'est qu'une astuce permettant de trouver une fonction avec 3 paramètres

[Dlzlogic]

Pardon, correction dans mon message précédent, ce n'est pas 12 possibilités et 12 calculs, mais seulement 8 possibilités et donc 8 calculs et 3x8 possibilités.

[invite92ae4dea]

Bonjour,
Je me suis posé la même question, y-a-t-il quelque part un formulaire des différentes équations avec le type de courbes que cela donne?
par exemple, j'ai un nuage de point, tient on dirait que ça part de 1, ça reste stable, puis ça descend d'un coup et se stabilise à 0 ... c'est quoi l'équation qui correspond le mieux ?

Et les réponses de cette discussion répondent pas trop à ça ...
Du coup j'ai cherché et j'ai trouvé ce site, qui même s'il n'est pas parfait, ressemble un peu à ce que je voulais (et que tu voulais aussi j'ai l'impression!):

http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml
(il y a aussi une section courbes 3D sur le même site!)

j'espère que ça aidera ceux qui cherchent ce genre de choses, et toi, même si depuis le temps tu as dû trouver ton bonheur !

bonne journée !!

[invite2313209787891133]

Bonjour

C'est exactement ce que je cherchais, merci

[Dlzlogic]

Bonjour,
Oui, vraiment très intéressant.
Pour ceux que ça intéresse, je recommande l'article "Courbes 3D >> Lignes de Crète - Ligne de Talweg".
J'y apporterai mon petit commentaire personnel : la définition utilisée par l'IGN est selon une dimension 2.5D et non 3D. Les topographes travaillent dans cette dimension qu'on pourrait définir comme "Définition en plan plus un Z". Cela fait appel à la Géométrie Cotée.