demonstration pas comprise : Card(ExF)=card(E)Card(F)

[invitec59380e1]

bonsoir, alors voilà, mon cours de maths sur les dénombrements est sur poly et les demonstrations ne sont pas assez détaillées à mon gout. alors je demande votre aide. voici lapreuve du theoreme telle qu'elle est dans mon cours

theoreme:
Soient E et F sont deux ensembles non vides. alors Card(ExF)=card(E)Card(F)

preuve :
nous allons appliquer le principe des bergers. considerons @ l'application premiere coordonnée de ce produit
@: ExF->E qui est defini par
@((x,y))=x quelque soit (x,y) appartenant à ExF.
on observe que @ est surjective et les fibres [COLOR="#0000FF"]de @ sont toutes en bijection avec F. plus precisement pour tot x appartenant à E, on forme: c'est à partir de là que je ne comprend pas
µ_x: @^-1 ({x})->F par : µ_x((x,y))=y quelqe soit (x,y) appartenant @^-1({x}). et on verifie aisement que quelquesoit x appartenant à E, µ_x est ne bijection. ainsi les fibres de @ ont toutes meme cardinal card(F). d'ou le resultat et là je ne vois pas comment on abouti au resultat


merci pour votre aide.
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[invitec3143530]

Ben on a partitionné l'ensemble des couples (x,y) en card(E) ensembles, chacun du type (x,yi) pour x fixé. Et on a montré que chacun est de cardinal card(F) donc Card(ExF)=card(E)Card(F)

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
Tout d'abord bienvenue au forum.
On a tout simplement montré que pour tout élément de E il y'a n valeurs possibles pour former un couple (x,y), et puisque µx est une bijection entre deux ensemble finis alors ce n= Card(F).

[invitec59380e1]

ce que je ne comprend c'est pourquoi choisir des applications definies ainsi et je ne vois pas comment @^-1{(x)} serait en bijection avec F

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7e4cd6b]

En d'autre terme, ils ont même cardinal, i.e. il existe une application bijective du 1er vers le 2eme.