Probabilités

[invite0bb5307a]

Enoncé :

Un livre contient X erreurs où X est un aléa de Poisson de paramètre λ. N exemplaires de ce livre sont distribués à N relecteurs différents. Pour chacun des relecteurs, chaque faute est décelée avec la probabilité 1/3 indépendamment des autres.

1) Déterminer la probabilité que toutes les fautes soient décelées.
2) Déterminer la valeur minimale de N pour que cette probabilité dépasse 0,9.
3) Soit Z le nombre d'erreurs décelées par l'ensemble des relecteurs. Quelle est la loi sachant [X=k] de la variable Z?
4) Quelle est la loi de Z? Quelle est la loi de X sachant [Z=l]?


Alors je pensais avoir trouvé la question 1 mais du coup pour la 2 ça ne va pas parce que il n'y a pas que N qui varie.
En fait j'ai fait :
C : "toutes les fautes sont décelées"
Fi,k : "la faute i est décelée par le relecteur k"

Donc C = [X=k] ∩ (∩ {i variant de 1 à k} Fi,1 U ... U Fi,N)

Je trouve p(C) = λ^k/k! * e^-λ * (N/3)^k

Je pense que déjà ce résultat est faux, non ?
Merci.
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[inviteea028771]

En effet, ce résultat est faux (entre autre il ne devrai plus apparaitre de k, et puis ça peut être plus grand que 1)

Je te propose la méthode suivante :
1) Quelle est la probabilité qu'une faute (fixée) passe inaperçue par les N correcteurs?
2) Quelle est alors la probabilité que cette faute soit repérée par au moins un correcteur?
3) La détection des fautes étant indépendante, si il y a k fautes dans le texte, quelle est la probabilité de les détecter toutes?
4) Quelle est la probabilité qu'il y ai k fautes dans le texte?
5) Conditionne P(C) par les valeurs de k (en faisant une somme et en utilisant la formule des probabilités conditionnelles)

La solution, une fois que tu aura un peu cherché :

 Cliquez pour afficher

1) La probabilité qu'une faute passe inaperçue par les N correcteurs est de
2) La probabilité qu'une faute soit détectée est alors de
3) Comme la détection d'une faute est indépendante, la probabilité de détecter les k fautes est donc de
4) La probabilité d'avoir k fautes est de
5) Pour connaitre la proba qui nous intéresse il faut alors faire la somme sur tout les k :


Comme ces événements sont disjoints :

On utilise la formule des proba conditionnelles :



On reconnait alors une exponentielle, donc c'est facile à calculer ^^

[invite0bb5307a]

Ok merci. Mais pour la question 2, je trouve N > ( ln(0,9) + λ ) / ln(2/3). C'est tout ce qu'on demande? On ne peut pas avoir de chiffre comme on ne connait pas λ.

[inviteea028771]

Oui, ici on ne te demande pas d'application numérique (d’ailleurs on aurait pu tout à fait juste te dire que le relecteur détecte la faute avec probabilité p au lieu de 1/3)

Par contre je ne trouve pas la même chose que toi. Je trouve :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0bb5307a]

Je n'arrive pas à trouver la même chose. Quand je pars de votre solution je tombe sur -λ * (2/3)^N > ln(0,9)

[inviteea028771]

Quel résultat as tu trouvé pour la question 1?

[invite0bb5307a]

J'ai e^-λ (2/3)^N .

[inviteea028771]

Ca n'est pas possible... un tel résultat voudrait dire que plus le nombre de correcteurs augmente plus la probabilité de trouver toutes les fautes diminue.

[invite0bb5307a]

La fraction est aussi à l'exponentiel c'est ça ?

[invite0bb5307a]

OK, j'ai repris le calcul et je trouve bien comme vous.

Pour la question 3, il faut trouver p( [X=k] ∩ [Z=l] ) ?

[invite0bb5307a]

Sans calculer p( [X=k] ∩ [Z=l] ), je trouve que cette probabilité est égale à : (l parmi k) (1/3)^l * (2/3)^k-l