Division des polynômes

[Snowey]

Bonjour !
Je cherche à trouver l'ensemble des polynômes P à une indéterminée et à coefficients réels tels que:
-le reste de la DE (division euclidienne) de P par est
- le reste de la DE par (X-2) est 1.
Et ... ben je ne trouve pas vraiment. J'arrive à trouver quelques conditions en traduisant simplement les contrainte i.e P(1)=0, P(-1)=-2 et P(2)=1, mais je ne parviens pas à déterminer quels polynômes explicites conviennent ... :/
Est-ce normal, ou un travail supplémentaire peut affiner ces contraintes ?
Lorsque je les "traduis", j'obtiens
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[invite2e5fadca]

Le polynôme est une solution particulière de ton équation (si je n'ai pas fait de fautes de calcul). Maintenant que tu as une solution particulière, essaye de te ramener à un système plus simple en utilisant cette solution, pour trouver toutes les solutions

[Jeanpaul]

La 1ère condition suppose que (X-1) est en facteur dans P donc P=(X-1) Q(X)
Ensuite, on trouve aisément que Q(1) = ... et Q(2) =...
Reste à trouver un polynôme qui passe par 2 points du plan. Le plus simple est de s'inspirer du polynôme d'interpolation de Lagrange (voir sur Google).
Bien entendu, il y en a une infinité.
Pour t'aider un peu, il faut chercher du côté de Q(X) = (X-2) A + (X-1) B où A et B sont des constantes.

[Snowey]

Puis je en déduire ? (une sorte de linéarité)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

Euh ... Jeanpaul, je ne comprends pas pourquoi on déduit de la première condition que ...
Oh mon dieu

J'ai fait une faute de frappe: la première DE se fait par ...
Bon, heureusement pour moi, il y a toujours du X-1, ce qui permet de poursuivre le raisonnement (en partie ...).
Désolé.

Et oui, j'ai compris en fait (heureusement pour moi, en même temps, vu l'évidence de la chose ... bref). mais comment connaître Q(1) ? On a juste P(1)=0=0*Q(1), non ? :/

[invite2e5fadca]

C'est en effet le résultat que j'ai trouvé. Si tu écris l'équation pour P et la relation que tu as pour , tu obtiens et . Ainsi par le lemme de Gauss .

En tout cas, les solutions sont de cette forme. Par contre je ne suis pas sur que tout polynôme de cette forme est solution, je ne l'ai pas vérifié mais cela semble raisonnable.

NB : En fait pour , tu peux prendre . En fait, l'espace des solutions est un espace affine, ce que l'on aurait pu montrer au départ.

[Jeanpaul]

Pour avoir Q(1) tu écris la division euclidienne par (X - 1)², tu mets (X - 1) en facteur et tu fais X=1

[Snowey]

Mais je ne vois toujours pas comment, par cette méthode, on peut trouver Q(1) ! Enfin, je veux dire: le polynôme recherché admet 1 pour racine donc je ne peux pas obtenir la valeur Q(1) en factorisant par X-1 et en choisissant x=1, puisqu'alors j'ai juste P(1)=0=(1-1)(2Q(1)+1), soit 0=0 ..., non ?
Par contre, je parviens à dire, grâce à la seconde DE, que Q(2)=0.

En raisonnant par analyse synthèse je retrouve bien que les polynômes recherchés sont de la forme générale

[Jeanpaul]

Regarde : tu écris que P(X) = (X-1)² Z(X) + (X-1) = (X-1) Q(X) donc
Q(X) = (X-1) Z(X) + 1 donc Q(1) = ...

[Snowey]

Rebonjour, et merci pour toutes ces explications !
Ce n'est pas tout à fait le même sujet, mais je cherche une factorisation d x puissance 8 +1, et le résultat que je trouve, qui me semble juste, ne l'est apparament pas !
N'a t'on pas ?
Merci bcp

[Jeanpaul]

Moi, j'aurais écrit pi/8 plutôt que 8 pi et j'aurais écrit le X avant le cosinus, ça se lit mieux..

[Snowey]

Oui, les fractions ne sont pas passées ^^
À ce détail près c'est donc bon

[Jeanpaul]

Oui, pourquoi as-tu des doutes ?

[Snowey]

Et bien, pour dire vrai j'ai fait ce qu'il ne faut souvent pas faire: j'ai pris la calculatrice pour vérifier mon resultat (mais ma méthode me semblait correcte !).
Et bien sur, je n'etais pas en radian ! (je me demande bien pk d'ailleurs ^^) donc voilà les doutes qui se sont installés ...
Quelques fois, il faut aussi avoir confiance en ses calculs
Merci d'avoir pris le temps de me répondre.
Il se trouve que j'ai une autre question à propos des polynômes de Tchebychev, concernant leur derivabilite en 1 et -1 et aussi concernant la possibilité d'écrire une fonction trigonométrique composée sous forme:
- d'un polynôme:
- d'une équa diff:
- d'une formule de récurrence (suite), les trois étant liés !
Mais je ne veux surtout pas continuer sur ce topic, puisque le thème est légèrement different. Je préciserai sûrement ça demain.

Merci, et bonne soirée.