Division euclidienne de polynômes

[inviteea5db5e2]

Bonsoir,

je n'arrive pas montrer l'existence du qutient et du reste pour la division euclidienne de deux polynômes.

On a procédé à une disjonction de cas.

-Si d(A)<d(B) : évident

-Si d(A)>=d(B) : problème =>

Je sais qu'il faut raisonner par récurrence.

L'initialisation a marché :
pour d(A)=d(B)=p
A=BQ+R
on a Q= cte et R est bien un polynôme de degré p-1

L'hérédité me pose problème ^^
Par contre avec n>p je suppose que P(n) est vraie et je dois montrer qu'elle implique P(n+1).

j'ai écrit les polynômes sous forme a_n xⁿ+ ... + a₀.

Mais ca ne m'aide pas plus. En quoi l'existence de Q et R avec d(R)<p au rang (n) implique leur existence pour un polynôme A de degré n+1.

Merci de votre aide.

MS
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Il faut une récurrence forte, en supposant que P(k) est vraie pour tout .

Tu considères alors un polynôme de degré , tu montres qu'il existe un scalaire tel que pour utiliser ton hypothèse de récurrence : il existe tels que ...

[invite7ffe9b6a]

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Faisons le par récurrence forte:
On posera

avec deg(A'(X))<n+1

avec s=deg(B) et deg (B'(X))<s

On distinguera 2 cas:
selon si n+1-s est positif ou negatif.

Dans le cas , negatif

dans le cas positif , on montrera que le polynome

est de degré inférieur ou égale à n.

et on appliquera l'hypothese de recurrence à C(X)

J'ai caché le message, il donne beaucoup trop d'indication ....

(il donne la constante que te demande de trouver god's breath, essaye de la trouver par toi -même)

[Médiat]

Il faut une récurrence forte

Pour montrer ma très mauvaise volonté sur certains points, ainsi que mon esprit borné et provocateur, je signale que les notions de récurrence double ou de récurrence forte n'existent pas vraiment et ne sont que des mots qui désignent un seul principe : la récurrence .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea5db5e2]

Merci beaucoup pour vos réponses ! J'avais pas vu la ruse ^^ Je tâcherai de m'en souvenir !