[L1] Trouver les bornes sup et inf

[invite30837cb4]

Salut,

Et bien voilà j'ai un problème concernant la détermination de la borne supérieure et la borne inférieure d'un ensemble.
Je connais leurs définitions, je sais ce qui les caractérisent, mais je n'y arrive toujours pas.
Si on me dit "démontrer que x est la borne sup" avec x connu, j'arrive à m'en sortir (pas facilement). (1)
Par contre "Trouver la borne sup de l'ensemble A", j'arrive à montrer que la borne sup existe, mais pour la calculer, je ne vois pas vraiment comment m'y prendre. (2)

Pour le (1), voilà un exercice que je viens de résoudre, et j'aimerais savoir si mon raisonnement est juste :


(Dans une question précédente, j'ai montré que 1/2 était un minorant de A)



En modifiant un peu le terme de gauche, on arrive à :



Qui est la propriété de la borne inf, d'où 1/2 est bien la borne inférieur de A. Pour la borne sup j'ai utilisé la même méthode.

Ensuite concernant le (2), voilà un exercice que je n'arrive pas à résoudre :

a. Montrez que A possède une borne inf et la determiner.
b. A possède-t-il une borne sup.
(Bien sûr je ne demande pas à quelqu'un de me faire l'exo, mais juste des conseils sur comment m'y prendre face à ce genre d'exercices).

Merci d'avoir pris le temps de lire, et désolé pour le post fleuve
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[invite57a1e779]

En modifiant un peu le terme de gauche, on arrive à :

Sauf que je ne vois pas comment tu modifies pour obtenir .

Pour le deuxième, j'éliminerais pour obtenir , puis j'userais de la parité pour écrire .
Il reste alors à étudier les variations de sur .

[invitec317278e]

Autre chose : démarrer le raisonnement en fixant à la fois epsilon, et p et q fait que ça a peu de chance d'aboutir.

Essaie de raisonner par l'absurde, sinon.

[invite30837cb4]

Salut,

Sauf que je ne vois pas comment tu modifies pour obtenir .

Mmh, effectivement y a un signe (-) que j'ai sortis de nul part, je viens de m'en apercevoir.
Par contre ça change pas grand chose, si on fixe on peut trouver assez grand tel que
à partir de là je multiplie par 1/2 :
puis je remplace par et j'ajoute . Ce qui donne :

Pour le deuxième, j'éliminerais pour obtenir , puis j'userais de la parité pour écrire .
Il reste alors à étudier les variations de sur .

D'accord merci pour l'indication. Je vois sur le tableau de variation de que f accepte un minimum : .
Mais ai-je le droit d'en déduire que 2 est la borne inférieur de A ?

@ Thorin : Je n'avais pas vu ton message.
D'accord merci je vais essayer de raisonner par l'absurde.
Juste une question : en quoi ça diminue les chances d'aboutir de fixer p et q ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

-lorsqu'un ensemble admet un min, alors, ce min est égal à l'inf.
-en fixant p et q dès le départ, tu montres une propriétés beaucoup plus forte...au lieu de montrer que pour tout epsilon, il existe un élément de l'ensemble tel que l'inégalité de la borne inf soit respectée, tu montres que pour tout epsilon, et pour tout élément a de A, l'inégalité de la borne inf est respectée, ce qui serait douteux.

[invite30837cb4]

-lorsqu'un ensemble admet un min, alors, ce min est égal à l'inf.

Ok, merci. Je n'y avais même pas réfléchit =s

-en fixant p et q dès le départ, tu montres une propriétés beaucoup plus forte...au lieu de montrer que pour tout epsilon, il existe un élément de l'ensemble tel que l'inégalité de la borne inf soit respectée, tu montres que pour tout epsilon, et pour tout élément a de A, l'inégalité de la borne inf est respectée, ce qui serait douteux.

Si j'ai bien compris ce que tu as dis, d'après toi je montre que :
?
Si c'est le cas, je ne suis pas d'accord. Dans mon exemple je montre que :
.
Ceci est plutôt équivalent à : , avec a s'écrivant sous la forme : .
Ce qui revient à la propriété de la borne inf appliqué à .

[invite57a1e779]

Si j'ai bien compris ce que tu as dis, d'après toi je montre que :
?
Si c'est le cas, je ne suis pas d'accord. Dans mon exemple je montre que :
.
Ceci est plutôt équivalent à : , avec a s'écrivant sous la forme : .
Ce qui revient à la propriété de la borne inf appliqué à .

Effectivement, c'est bien ce que tu fais.
Mais tu n'as bas besoin de « », seulement de ».

[invitec317278e]

Je suis en accord avec ta seconde démonstration, en revanche, dans la première, ta démonstration était indépendant du choix de p et de q.

[invite30837cb4]

Effectivement, c'est bien ce que tu fais.
Mais tu n'as bas besoin de « », seulement de ».

Oui tu as raison.

Je suis en accord avec ta seconde démonstration, en revanche, dans la première, ta démonstration était indépendant du choix de p et de q.

D'accord, c'est plus clair maintenant.