DNS, f(a+b)=f(a)+f(b) et f(ab)=f(a)*f(b)

[invite3c1c7678]

Bonsoir à tous je vous contact car j'ai un problème je bloque sur mon DNS de math , je suis en pcsi, je vous expose le sujet.

Soit f:R->R différente de la fonction nulle.
Pour tout (a,b) appartienne à R² f(a+b)=f(a)+f(b) et f(a*b)=f(a)*f(b)

1) montrer que f(0)=0 et f(1)=1
2) montrer que f(x)=x pour x appartient à N, puis à Z
3)en déduire que f(x)= x pour x appartient à Q
il y a d'autre question mais elles ne sont pas dans le même genre.

J'ai réussi à montrer que f(0)=0 en montrant que f(0)=2f(0)=f(0)² avec a=-b=0

par contre je n'arrive pas pour f(1) je trouve des solutions complexe qui ne vont pas du tout avec le sujet.

je voulais savoir si vous auriez pas des pistes a me donner pour répondre à mon problème.

Cordialement ggete84.
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[inviteea028771]

par contre je n'arrive pas pour f(1) je trouve des solutions complexe qui ne vont pas du tout avec le sujet.

Par définition, la fonction f va de R dans R.

De toute façon, on a f(a) = f(a)*f(1), donc si f n'est pas la fonction nulle, il existe a tel que f(a) différent de 0, il suffit alors de simplifier par f(a) pour obtenir f(1) = 1

[invite3c1c7678]

alors là jolie , je n'y avait pas du tout pensé , j'en était même très loin . Merci à toi.

[invite3c1c7678]

quelqu'un aurais une idée pour la question 2?

faut -il que j'exprime a ou b en fonction de x ou une autre solution existe?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

par recurrence , c'est immédiat.
f(n+1)=f(n)+f(1)=f(n)+1

[invite3c1c7678]

D'accord mais je ne peut pas conclure avec celà que f(n+1) = n+1 car f(n) n'est pas obligatoirement = à n

[invite51d17075]

le passage dans Q est facile aussi , par contre on ne peut pas passer dans R comme ça.
mais contrairement à une autre question équivalente , il y a une autre proposition

[invite3c1c7678]

J'ai réussit la récurrence qui comme vous l'avez dis était d'une facilité déconcertante.
Je vais réfléchir pour le passage dans Z mais j'ai une idée pour le passage dans Q , si x appartient a Q alors il peut s'écrire p/q avec p appartient à Z et q appartient à N , je contais continuer dans cette voix , est-ce un bon choix?

[invitec1242683]

Oui, c'est un bon choix