Développement limité

[invitef17530e3]

Bonjour,

J'aimerai qu'on explique la méthode pour trouver le DL à l'ordre 3 au voisinage de 0 de f(x)=ln(sin(x)/x)
Car je n'arrive pas à obtenir le résultat souhaité.

Merci
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[inviteea028771]

Le sin est divisé par x, donc pour avoir un DL à l'ordre 3 de sin(x)/x, il faut faire un DL à l'ordre 4 de sin(x)

sin(x)/x = (x-x^3/6+o(x^4))/x = 1-x²/6+o(x^3)

Et un DL de ln(1+Y) en 0 est Y-Y²/2+o(Y²)

ici Y = -x²/6 + o(x^3)

D'où ln(sin(x)/x) = ln(1-x²/6+o(x^3)) = -x²/6+o(x^3) - (-x²/6+o(x^3))²/2 + o((-x²/6+o(x^3))²)

= -x²/6 + o(x^3)

[invitea9d32619]

Bonjour,
Dans la réponse formulée, je n'y vois qu'un développement limité à l'ordre DEUX! Curieux n'est-il pas?

[inviteea028771]

Le reste est un o(x^3) donc c'est bien un développement limité à l'ordre 3...

Le terme suivant non nul est de degré 4

[A voir en vidéo sur Futura]