Rebonjour ,
j'ai une suite de fonctions dans l'espace des fonctions continues à valeur dans R et une suite reelle telles que fn(xn) tend vers f(x) .
on sait que fn(xn)<= K pour tout n et j'aimerais bien dire que
f(x)<=K .
seulement , si je dis pour tout e , il existe N tel que pour tout n>N |fn(xn)-f(x)|<e , j'arrive à |f(x)|<e+|fn(xn)|<=e+K et c'est pas bon .
Comment on enlève ce e? merci .
Sers toi de la continuité de tes fonctions.
Si on reformalise ce que tu as ecrit, on a :
Tu peux alors faire tendrevers 0 dans les deux termes de ton inegalite. Le terme de droite, ne contenant pas
merci , pour la continuité des fonctions je ne vois pas trop comment l'utiliser mais la réponse de lahaye me convient bien , merci ...
Le fait d'avoir des fonctions ici (continues ou pas) ne change rien au problème. Tu as une suite convergente dont tous les termes sont inférieurs ou égaux à K, la limite est inférieure ou égale à K.
En effet, et si tu veux le montrer tu peux supposer que f(x) > K et alors tu verras que ça implique qu'à partir d'un certain n0, les fn(x) sont > K (car leur limite est f), ce qui est contraire à l'hypothèse.
Si tes fonctions ne sont pas continues je ne suis pas sur que tu puisses écrire |f(x)|<=K+e ?
Par exemple si tu prends pour f la fonction qui vaut 0 pour tout x négatif ou nul, et 1+x après.
SI je définis xn = -1/n, et fn(x) = f(x)-1/n
On a fn(xn) = -1/n pour tout xn, donc bornée. Cependant f ne l'est pas.
D'ailleurs même en prenant f continue en 0, cela ne marche pas. Il faut des contraintes supplémentaires, non ?
ericc, le x est fixé ici.
Oui, mais le fait qu'une seule suite réelle xn soit telle que fn(xn) converge vers f(x) ne va pas pouvoir nous dire grand chose sur f(x) en x, ou alors j'ai raté un épisode.
Dans mon exemple j'ai bien une suite xn qui tend vers 0, et telle que fn(xn) tend vers f(0) à gauche. Mais si f n'est pas continue, elle peut ne pas être bornée à droite ?
Dites moi si je délire complètement ?
Mais ici on ne parle que de suite pas de fonction !Envoyé par ericcc
fn(xn) ne tend pas vers f(0) à gauche, elle tend vers 0 tout court. Ca n'a pas de sens de dire qu'une suite tend vers une valeur à gauche. Et c'est seulement f(0) qui dans ce cas doit être majoré par K.
On parle bien de suite de fonctions ci dessus ?
Bon ça y est j'ai compris. Il est temps que j'aille me reposer....
Non, probablement dans les questions précédentes du sujet de Syllys, mais pas ici. fn(xn) est une suite de réels et f(x) est un réel donné, c'est tout.
Donc la question pourrait aussi bien être: en ayant une suite an qui tend vers b et en sachant que pour tout n an <= K, montrer que b <= K.
on remplace e par e/n on obtient | f(x) | < = K + (e/n) et faire tendre n vers + l'infini
On choisie e/n au lieu de e on obtient alors |f(x)| <= K + (e/n) et on fait tendre n vers +∞
Par suite on trouve que |f(x)| <= K
