La valeur d'un choix ?

[invitede2d9778]

Bonjour,

Je vous contacte en désespoir de cause après des heures de recherches en ligne et autour de moi.

Tout est parti d'un cas concret et simplissime.

Je joue au football en salle avec des amis et la composition des équipes est (forcément) sujette à débats.
Nous avons souvent à faire face à 20 joueurs (nous compris), à répartir en 4 équipes.
4 capitaines sont donc désignés, qui choisissent à tour de rôle des joueurs pour compléter leur effectif, et obtenir 4 équipes de 5 joueurs.

Classiquement, en nommant les équipes A,B,C et D, nous avions l'habitude de procéder dans l'ordre de choix suivant : ABCD DCBA ABCD DCBA.

Ceci afin de contre-balancer la moindre valeur (supposée) du quatrième choix (du premier tour) par la primeur du 5ème (et donc premier du deuxième tour) sur les suivants.

Jusqu'à ce que l'un de nous, d'accord sur le déroulement des deux premiers tours, fasse remarquer que le troisième tour devrait plutôt commencer, à nouveau, dans le sens DCBA.

En effet, il pointait le fait que le capitaine A avait la primeur sur les choix de rangs 1 et 3, alors que D ne l'avait que sur les rangs 2 et 4, ce qui semble a priori creuser l'inéquitabilité.

Il proposait donc d'inverser les ordres des deux derniers tours de choix. Pour que le capitaine D puisse choisir les meilleurs des rangs 2 et 3.

Après moults débats, j'en suis arrivé à une interrogation transformée : me demander si notre façon d'aborder les choses n'était pas trop simpliste.

Je flaire en effet qu'il puisse exister une modélisation mathématique de la valeur d'un choix, et de sa décrue avec la baisse de l'échantillon dans lequel se fait ce choix.

La difficulté est de définir cette modélisation dans l'absolu, sans égard aux valeurs possibles des joueurs présents.

Il ne me paraît pas impossible de considérer que ces valeurs de choix ne sont pas linéairement séparées, de un en un, comme le suggère l'approche de mes opposants : ainsi, le tout premier choix me paraît énormément plus "agissant" que le dernier, non pas dans un rapport de 1 à 16 mais de façon exponentielle (pardonnez l'emploi maladroit et inexact des termes). Le premier choix permet de choisir ET d'éviter, cela se mesure-t-il mathématiquement ?

Finalement, et si une modélisation est possible, on pourrait arriver à des solutions de type (j'invente les valeurs) : le choix 1 a une valeur de 100, le 2 de 80, le 3 de 50, etc. jusqu'à des derniers choix séparés par moins d'écarts.

Cela aboutirait à élaborer des lots de 4 joueurs de valeur la plus proche possible. Par exemple, le capitaine A choisirait en 1er, en 12e, en 15 e et 16e, le B en 2e , en 7e, 9e et 14e... (là aussi, je ne peux que flairer).

Je ne sais pas s'il s'agit d'un problème de probabilité, d'espérance mathématique, ou si le seul problème est que j'aie négligé un écueil dans mon approche, mais mon intuition et ma curiosité me poussent à solliciter les "sachants" que vous êtes.

Ceci afin de pouvoir, dans l'idéal, briller lors d'une prochaine composition d'équipes !

Merci d'avance de ce que vous pourrez me dire (en vulgarisant au max, merci)... même que mon interrogation n'a pas lieu d'être !

Et au plaisir d'une discussion mathématique passionnée !
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[invite06b993d0]

si tu attribues les valeurs 1 à 16 aux 16 joueurs, une solution est ici :

[invite4492c379]

Hello,

Par curiosité, c'est pour créer des «équipes de force semblable» ou pour «égaliser les chances de tirer les meilleurs joueurs» ?

[invitede2d9778]

Merci à vous.

@mehoul : Je n'arrive pas à lire clairement ce que tu joins. Mais ma question portait justement sur l'hypothèse où on n'attribue pas de valeur aux joueurs. Je flairais que la baisse de la valeur de choix ne se faisait justement pas de 1 en 1, mais selon une sinusoïde. Pour caricaturer, je me demandais si le fait que le 1er choix soit infiniment plus "agissant" que le dernier (on choisit ET on évite) pouvait se traduire mathématiquement. Il se peut que je sois complètement dans le faux, et dans ce cas, on retombe sur ton hypothèse.

@photon57 : c'est bien global, je vise la péréquation la plus équitable dans l'absolu, forts et faibles compris. Mais aucune règle ne permettra de "créer des équipes de force semblable", à chaque coup. Tout changera selon la valeur des joueurs, selon qu'il y ait un crack ultime, ou deux, ce soir-là. Il s'agit donc de tendre vers ça, et surtout vers une somme de choix, pour chaque capitaine, la plus équitable possible.

Bon, en gros je cherche si un cas médian existe entre :

-on donne des valeurs fixes aux joueurs et du coup, la répartition se fait selon ces valeurs, sans règle dans l'absolu.
-on ne donne aucune valeur à rien : du coup, un tirage au sort paraît le plus logique, dans l'absolu.

Je cherche une équation qui lie l'ordre de choix et le nombre total de joueurs restants, sans fixer de valeur aux joueurs. Pour moi, fixer des valeurs de 1 à 16 ne se justifie pas vraiment, même si dans un cas concret, c'est le réflexe qu'on aura.

Le truc est de donner une valeur non au joueur, mais au choix, à l'ordre de choix. Ce n'est pas tout à fait pareil, puisqu'un joueur n'aura pas la même valeur aux yeux de chaque capitaine. Et justement là, les valeurs de 1 à 16 me paraissent encore contestables. Mais bon, c'est peut-être essayer de faire rentrer trop de psychologie, de subjectivité et d'abstraction dans les maths.

Est-ce que vous comprenez ce que je "flaire" ? Ca vous paraît idiot ? (un peu dur à expliquer...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4492c379]

Hello,

Que penses-tu de quelquechose du genre :

1. Chacun donne une note aux autres (disons de 0=nul à 10=crack)
2. Tu calcules la moyenne de chaque joueur en pondérant les notes données avec la moyenne de celui qui l'a donnée (au premier passage la pondération de chaque joueur vaut 1).
3. Tu recommences jusqu'à ce que ça se stabilise (enfin si ça se stabilise)
4. Les capitaines sont choisis au hasard
5. L'équipe dont la moyenne des joueurs est la plus faible et qui n'a pas 4 membres choisi jusqu'à épuisement du stock des joueurs

[invite06b993d0]

la gravure de Dürer représente un carré magique. Tu as besoin de répartir 16 nombres en 4 groupes de sorte que les sommes de chaque groupe soient égales. C'est une contrainte plus faible que celle d'un carré magique. En fait rien ne dit que la valeur d'une équipe est la somme des valeurs des joueurs, mais je ne vois pas comment mathématiser le problème sans faire cette hypothèse. Tu as donc des nombre n1,...,n16 pas forcément tous distincts. Tu vois tout de suite que si la somme des ni n'est pas divisible par 4 il n'y a pas de solution (tu peux chercher une solution approchée dans ce cas). S'il exite une répartition en 4 groupes de somme égales, il reste à définir un protocole de choix, et là aussi il peut ne pas exister de solution indépendante des ni (je pense qu'il n'y en a pas).

<tout ça en suposant que tout le monde est d'accord sur les valeurs des joueurs>

[invitede2d9778]

@photon57 : ce déroulement paraît séduisant. (Lol en théorie, parce que je vois mal 15 gars attribuer zéro au 16 ème, qui se tire une balle immédiatement). Mais un capitaine fera forcément le choix qui lui paraît le meilleur, sans tenir compte de la moyenne, non ? (encore que, il peut prendre un gars un peu moins fort à ses yeux mais qui a une meilleure cote auprès des autres, si son premier choix n'est pas convoité et peut l'attendre un tour de plus... Tu fais entrer de la stratégie, pas mal. C'est justement ça qu'il me faudrait, un truc proche de la théorie des jeux).

Bon, il y aussi le fait qu'une certaine franchise sera nécessaire pour ne pas fausser les cotes.

Ton point 5 me pose néanmoins question : est-ce que ça ne revient pas au système de base ? Parce que après ABCD, on fait DCBA justement parce que les moyennes de joueurs vont théoriquement décroissantes, pour compenser. Quoique, au troisième tour, ça devient plus difficile à dire, ça dépend des écarts de valeurs. Hmm... je crois que tout nous ramène à intégrer des valeurs de joueurs, même subjectives.

@mehoul : très juste, la dimension équipe compte, et dans l'absolu, elle est impossible à poser. C'est exactement ça pour les n1 à 16, pas forcément distincts. Donc pour toi, l'idéal serait de déterminer la valeur-consensus de chaque joueur, puis d'élaborer un protocole (voire de constituer des lots) ?

Bon, je crois bien que je vais remballer mon intuition mais vos approches m'apportent pas mal, merci !

[invite06b993d0]

si les avis sur la valeur des joueurs ne sont pas unanimes, tu as deux approches: ou bien essayer de constituer des équipes "objectivement" de même valeur (par exemple en prenant la moyenne des notes attribuées par les 4 capitaines), ou bien essayer de faire en sorte que chacun pense avoir été mieux ou au moins également servi que les autres. Ca me fait penser à la stratégie de découpage d'un gâteau en 2 parts: l'un coupe et l'autre choisit.

[invite4492c379]

@photon57 : ce déroulement paraît séduisant. (Lol en théorie, parce que je vois mal 15 gars attribuer zéro au 16 ème, qui se tire une balle immédiatement). Mais un capitaine fera forcément le choix qui lui paraît le meilleur, sans tenir compte de la moyenne, non ? (encore que, il peut prendre un gars un peu moins fort à ses yeux mais qui a une meilleure cote auprès des autres, si son premier choix n'est pas convoité et peut l'attendre un tour de plus... Tu fais entrer de la stratégie, pas mal. C'est justement ça qu'il me faudrait, un truc proche de la théorie des jeux).

Bon, il y aussi le fait qu'une certaine franchise sera nécessaire pour ne pas fausser les cotes.

Ton point 5 me pose néanmoins question : est-ce que ça ne revient pas au système de base ? Parce que après ABCD, on fait DCBA justement parce que les moyennes de joueurs vont théoriquement décroissantes, pour compenser. Quoique, au troisième tour, ça devient plus difficile à dire, ça dépend des écarts de valeurs. Hmm... je crois que tout nous ramène à intégrer des valeurs de joueurs, même subjectives.

Bon, c'était un premier jet, l'idéal est d'implémenter ça comme une app smartphone pour être pratique. Quant au point 5, il autorise en fait une séquence de choix du type ABACBDAACDABCDBCCDB par exemple suivant les stratégies adoptée. Le capitaine qui choisi a un moment donné est celui dont l'équipe est jugée la plus faible et son choix même dans le cas où il prend le meilleur restant pourrait ne pas faire évoluer le score de son équipe en dernière place ...

[invitedb565d4b]

je pense que dans la pratique, 2 joueurs de niveau moyen qui se connaissent peuvent fair bien plus mal qu'un joueur nul+ un crak voir meme un moyen + un crack qui ne se "trouve pas". je conseillerais d'attribuer un nombre de points aux joueurs et de le fair évoluer dans le temp (fesable si il y'a rarement des nouveau) avec des +25 par victoire -x par defaite etc ceci tiendrais, en plus, compte du fait que certain peuvent progresser. les capitaines devraient être les plus gros scor puis ensuite un algorithme à définir répartie le reste.

[invitede2d9778]

De très bonnes idées tout ça, merci.

@mehoul : oui, ce serait le top que chacun soit (ou se sente) comblé, faudrait presque faire une négociation et équilibrer avec des casquettes, des pin's... (non là je délire)

@photon57 : ah oui, c'est vrai qu'il serait possible de prendre 2 ou 3 mauvais (ou moyens) au lieu d'un fort, je n'y avais pas pensé. Et c'est un élément pas mal, qui inclut de la stratégie. Par contre, je ne comprends pas comment on peut éviter de commencer par ABCD. ABA, comme tu commences, ça va être dur de justifier pour C et D, qui voient l'équipe A se resservir alors qu'ils sont à zéro (et que A ne l'était logiquement plus).

@ebolamath : c'est presque une autre réflexion, mais elle est sûrement meilleure dans l'absolu. Ca éviterait que certains vivent sur leur réputation ^^

@tous : c'est marrant, les meilleurs systèmes sont impossibles à envisager dans la réalité, si on met un peu d'humanité là-dedans. C'est déjà difficile d'être choisi en dernier, mais voir 15 personnes mettre en branle des calculs savants pour éviter d'hériter de vous, c'est à se flinguer !

Mon idée (dont je fais le deuil, peu à peu) était qu'il puisse exister un système général qui dise : " A 16 joueurs, le 1er choix a une valeur théorique de 100, le 2e de 80, le 3e de 65, le 4e de 55... le 14e de 3, le 15e de 1 et le 16e de 0." On en conclurait que des lots égaux sont par exemples "choix 1,9,15 et 16", "choix 2,7,12 et 14", "choix 3,4,11 et 13" et "choix 5,6,8 et 10" (j'invente, mais pour faire comprendre que ça n'aurait rien de tours de choix qui reviennent avec logique).

Et du coup, personne ne serait plus humilié que d'habitude quand on sortirait ce système. Et idéalement, on pourrait le faire en remplaçant 16 par le nombre de joueurs qui sont là, à chaque fois, dans l’algorithme/l'équation.

Mais si je vous suis, c'est impossible sans parler des valeurs de joueurs ? C'est dommage, ça me paraît être 100 pour le 1er choix et zéro pour le 16e, mais c'est vrai qu'après, comment définir les écarts intermédiaires... Pour être sûr, il n'existe pas un outil mathématique qui, en simplifiant, fixe la valeur dont bénéficie de celui qui choisit en 2e dans un lot de 3 ? Si on arrive à dire que son choix vaut 75, ou 50 ou 33 ou que sais-je, ça veut dire que mon modèle est possible.

[invitedb565d4b]

si tu tiens à continué à laisser "choisir" des humains il est difficile de faire des équipes vraiment équitable. ton idée me parait pas mal mais attribué ses valeurs est vraiment subjectif. a la limite , tu pourrait modifié le nombre de choix. par exemple
je te donne une répartition equitable pour 2 équipe A et B constitué de 5 joueurs:
ABBAABBAAB
1 tres fort 2 moyen 2 nul contre 2 fort 2 moyen 1 tres nul :^p
en extrapolant tu peu peu etre trouver un algorithme qui te convient au lieu de vouloir faire les choix 1 par 1
ex:ABBCCCDDDD...

edit: oups phtoton57 disait deja quelque chose de semblable

[invitede2d9778]

Oui mais là tu reviens au tout début, la solution qu'on fait instinctivement. (peut-être parce que c'est la moins pourrie...)

Mais il y avait une première objection : ABBA d'accord, mais si tu refais un tour à ABBA (je mets les capitaines à part), ça aboutit comme dit dans mon premier message, à ce que A ait choisi en premier les joueurs de rang (supposé) 1 et 3, alors que B choisit avant lui pour les rangs 2 et 4.

Ce qui incitait un pote à dire : ABBA BAAB. A choisit en premier pour les rangs 1 et 4, B pour les rangs 2 et 3.

Mais bon, je me demande au final si l'avantage concédé à A n'est pas tout simplement contre-balancé par le fait qu'il hérite des "plus mauvais" (supposés) des rangs 2 et 4, ce qui est pire que ceux des rangs 1 et 3.

A est gagnant sur les bons, et perdant sur les mauvais, B c'est l'inverse.

[invitedb565d4b]

ca rejoin ce que tu voulait faire en fait. dans mon exemple fait à la va vite et qui n'est sans doute pas le meilleur ca donnerait
A:20 10 9 8 2
B:19 18 7 6 1
C:17 16 15 5 4
D: 14 13 12 11 3
en notant simplement les joueur de 1 à 20

[invitede2d9778]

Ouais mais j'essaie justement d'éviter de noter les joueurs, puisque la règle doit marcher en général. (enfin c'est peut-être juste l'ordre que tu marques)

Mais je finis par admettre qu'un choix ne peut pas avoir une valeur théorique, et que tout dépend du fait, par exemple, qu'il y a ait un, deux ou 5 super joueurs.

Merci en tout cas.

[invitedb565d4b]

non mais les capitaines vont prendre les joueur qu'ils pensent etre les plus fort dans lordre. donc il faut bien les notés pour représenter les solution possible. si tout les joueurs valent 10 peut importe l'ordre des choix. ce que je veux dire c'est que là tu note des joueur immaginaire pour determiner un algorithme, une fois que c'est fait tu n'a plus besoin de connaitre les notes des joueurs.
et selon moi ABBAABBA est une bonne répartition.

ha je croix comprendre ce que tu veux faire mais c'est completement impossible lol.
si tu as 9 joueur qui valent 10 et 1 qui vaut 0 tu ne pourra jamais trouver un algorithme qui te partage les équipe de maniere équitable.
il faut bien partir de quelque chose. si ils ont tous un niveau different, ABBAABBA marche sinon il faut faire un ladder comme j'ai expliquer plus haut avec les points qui varient, et determiner les point attribué aux joueur victorieu en fonction de l'équilibrage. je m'explique

si tu tombe un jour sur 20 joueur 19 du meme niveau et 1 nullard, tu fait ton match déséquilibré et si l'équipe qui à le nullard gagne ils prennent par exemple +50 si ils perdent -20 (je met ca au pif)et vice versa si les forts gagne ils gagne moin que si ils avait joués contre une équipe plus forte qu'eux.
c'est compliqué et ca prend du temp mais trouver un algorithme de répartition qui marche quelque soit le niveau des joueur n'est pas possible selon moi

[invitedb565d4b]

petite précision ABBAABBAAB marche si les joueurs ont un niveau different ET qu'il y a le meme écart entre les different niveau ^^