Une histoire de barycentre

[invitede6f3928]

Bonjour,
voila j'ai un exercce que je n'arrive pas à terminer et j'aurais besoin de votre aide :Voila la première question,
"ABC un triangle ,construire les points I, J et K définis par IB=-1/2 IC ,JA=-2/3 JC et KB = -3/4 KA .
Pour cette question j'ai fais IB + 1/2 IC = 0 après avec la relation de Chales je trouve 3/2 BI = 1/2 BC et là je divise les coeficients par 2 donc j'ai 3BI = BC donc BI = 1/3 BC.
J'ai fais a peu près la même chose pour les autres don ça me donne AJ = 2/5 AC et BK = 3/7 BA.

Pour la question 2 qui est : "Exprimer I, J et K comment barycentre de deux points pondérés.
Pour cette question je suis parti du début donc j'ai fais IB = -1/2 IC ça donne IB + 1/2 IC = o donc I est le barycentre de (B ; 1) (C ; 1/2) et j'ai fais la même chose pour les autres ce qui donne J barycentre de (A ; 1) (C ; 2/3) et K barycentre de (B; 1) (A ; 3/4).

C'est pour la question 3 que ça se complique, je vous la donne :
"Soit G le barycentre de (A ; 3) (B ; 4) et (C ; 2), Montrer que G est le barycentre des points (K ; 7) (C ; 2).
En deduire que G appartient a (CK)."
Donc pour cette question j'ai d'abord calculé la position de G sur le triangle ça fait donc AG = b/a + b + c AB + b/a + b + c AC a nous donne donc AG = 4/9 AB + 4/9 AC.

Voila pour ce que j'ai pu faire après je ne connais pas la méthode pour montrer que G est le barycentre de (K ; 7) (C ; 2) et l'autre aussi ,merci de m'indiquer comment faire.
Merci d'avance
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[invitede6f3928]

Bonjour,
en fait pour la question 3 normalement j'ai réussi j'ai fais le théoreme d'assciativité et j'ai regroupé A et B pour donner K ça donne donc bien (K ; 7) (C ; 2) après pour montrer que G appartient a (CK) j'ai fais aGK + bGC = 0 ça me donne a la fin CG = 7/9 CK donc G est bien sur (CK).

Il me reste une dernière questio que je n'ai jamais vu je vous la dis :
"Montrer que (AI) ,(BJ) et (CK) sont concourantes en G"
donc là je ne sais pas du tout comment faire en plus il me reste que cette question.
Merci de m'imdiquer la marche a suivre.
Merci d'avance

[invite5f448492]

Essaye d'exprimer G comme barycentre de (A, qqchose) (I, qqchose) puis de (B, qqchose) (J, qqchose) et enfin de (C, qqchose) (K,qqchose) (Les "qqchose" sont différents, hein).

Ca signifie que J appartient aux trois droites (qu'on va supposer non confondues )

[invitede6f3928]

Comment ça J appartient aux 3 droites ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5f448492]

Euh pardon, pas J mais G (on se comprend)

[invitede6f3928]

Ha ok je vais essayer ça.

[invitede6f3928]

Alors voila j'ai essayé j'ai mis par exemple pour (AI) aGA + bGI = 0 mais je ne connais pas les coefficients est ce que tu pourrais m'aider sur ce point.
Merci d'avance

[invite407f5bc4]

J'ai fais ta question 1 et je ne trouve pas pareil que toi :

Pour cette question j'ai fais IB + 1/2 IC = 0 après avec la relation de Chales je trouve 3/2 BI = 1/2 BC et là je divise les coeficients par 2 donc j'ai 3BI = BC donc BI = 1/3 BC.
J'ai fais a peu près la même chose pour les autres don ça me donne AJ = 2/5 AC et BK = 3/7 BA.

moi je trouve BK=3/4BA et AJ=2/3AC

[invite407f5bc4]

J'ai fais ça trop vite ... tu as raison !
excuse moi
Je vais regarder la suite ...

[invite5f448492]

Sais-tu raisonner par systèmes équivalents ? (pour la dernière question je parle)
Parce que comme ça, ça marche bien .

[invite407f5bc4]

pour la question 2 je trouve comme toi

AG = b/a + b + c AB + b/a + b + c AC a nous donne donc AG = 4/9 AB + 4/9 AC.

là par contre je ne trouve pas pareil :
prenons un point M :
3MA+4MB+2MC=(5+4+2)MG=9MG

Soit M=A on a donc :
4AB+2AC=9MG donc :
AG=4/9AB+2/9AC
(tout cela en vecteurs)

Je vais continuer ...

[invite407f5bc4]

Sais-tu raisonner par systèmes équivalents ? (pour la dernière question je parle)
.

Qu'appelles tu systèmes équivalents ?

[invitede6f3928]

Euh moi aussi je ne connais pas les systèmes équivalents et je prefererais avoir une autre technique sinon ça va plaire a la prof de maths qui eut qu'on utilise une méthode déjà vu en classe.
Merci d'avance

[invite5f448492]

Bah en fait, quand je dis systèmes équivalents, c'est le théorème d'associativité.

Par exemple, on a G bar (A ; 3) (B ; 4) et (C ; 2).
En système équivalent, on note : (G, 9) équivaut à (A ; 3) (B ; 4) (C ; 2). Et ça permet de faire plein de trucs en cuisinant un peu.

Ici : (I, 1.5) éq (B,1) (C,1/2) <=> (B,1) éq (I,1.5) (C,-1/2) (en fait B est barycentre de (I,1.5) (C,-1/2) )(si ça te paraît pas évident, écris vectoriellement à partir de la définition du barycentre).

On a : (K,1.75) éq (B,1) (A, 3/4). On remplace le (B,1) par ce qui est au-dessus, on bidouille pour essayer de caser du G quelque part (on veut essayer d'exprimer G comme le barycentre de (A qqchose) (I, qqchose)). Et ça marche.

Mais bon, si cette méthode convient pas, il doit y avoir moyen de faire ça sous forme de calcul vectoriel.

[invite407f5bc4]

De plus ... es-tu sûr de ça : G le barycentre de (A ; 3) (B ; 4) et (C ; 2), car pour ta dernière question la méthode que j'ai toujours appliqué c'est faire l'associabilité du barycentre

Ici on trouve ça :
(A ; 3) (B ; 4) et (C ; 2)
(K ; 7) (C ; 2)
(A ; 3) (I ; 6)
(B ; 4) (J ; 5)

mais ça ne répond pas à la question de l'exercice alors que ça devrait ...

je vais comme même vérifier ...

[invite407f5bc4]

peut-être que j'ai une solution :
on sait que :
I barycentre de (B ; 1) (C ; 1/2)
J barycentre de (A ; 1) (C ; 2/3)
K barycentre de (B ; 1) (A ; 3/4)

on peut également écrire :
K barycentre de (B ; 1 x 4) (A ; 3/4 x 4)
ce qui donne :K barycentre de (A ; 3) (B ; 4)

de plus : J barycentre de (A ; 1 x 3) (C ; 2/3 x 3)
ce qui donne :J barycentre de (A ; 3) (C ; 2)

finalement : I barycentre de (B ; 1 x 4) (C ; 1/2 x 4)
ce qui donne :I barycentre de (B ; 4) (C ; 2)

on a donc : (A ; 3) (B ; 4) (A ; 3) (C ; 2) (B ; 4) (C ; 2)
soit en simplifiant (A ; 3) (B ; 4) et (C ; 2).
or on sait que G le barycentre de (A ; 3) (B ; 4) et (C ; 2),
donc (AI) ,(BJ) et (CK) sont concourantes en G

c'est tout de même a vérifier !

[invite5f448492]

Euh je vois pas trop ce que tu racontes en fait. Je vois pas en quoi ça prouve quoi que ce soit .

[invite407f5bc4]

j'ai trouvé !!! ce que j'ai fait avant c'est tout de même du bidouillage !

je vais tout reprendre :

on sait que :
I barycentre de (B ; 1) (C ; 1/2)
J barycentre de (A ; 1) (C ; 2/3)
K barycentre de (B ; 1) (A ; 3/4)

on peut également écrire :
K barycentre de (B ; 1 x 4) (A ; 3/4 x 4)
ce qui donne :K barycentre de (A ; 3) (B ; 4)
et on a donc (k;7)

de plus : J barycentre de (A ; 1 x 3) (C ; 2/3 x 3)
ce qui donne :J barycentre de (A ; 3) (C ; 2)
et on a donc (J;5)

finalement : I barycentre de (B ; 1 x 4) (C ; 1/2 x 4)
ce qui donne :I barycentre de (B ; 4) (C ; 2)
et on a donc (I;6)

on sait que G le barycentre de (A ; 3) (B ; 4) et (C ; 2),
d'après l'associabilité du barycentre on a :
(A ; 3) (I ; 6) donc IG=3/9 IA G apprtient à (IA)
d'après l'associabilité du barycentre on a :
(B ; 4) (J ; 5) ... G apprtient à (BJ)
d'après l'associabilité du barycentre on a :
(K ; 7) (C ; 2) ... G apprtient à (CK)

AI) ,(BJ) et (CK) sont concourantes en G

Je suis super heureuse de voir ces droites se couper

[invitede6f3928]

Merci pour ta réponse dolmen j'ai réesayé ce que tu fais et ça a marché comme sur des roulettes c'est vraiment sympa merci aussi a tous ceux qui ont répondu comme Superdumas.
@++

[invite5f448492]

Ouais c'est bien ça, dolmen.
J'avais fait comme ça, sur mon papier (mais à vrai dire j'avais la flemme de tout noter , d'autant plus qu'on a fini les barycentres donc cela ne me servait plus trop re ).

Juste un truc, c'est pas plutôt l'associativité du barycentre ?

[invitede6f3928]

Oui je crois que dolmen a fait une petite erreur de frappe ( plus de 100 messages !)

[invite407f5bc4]

Juste un truc, c'est pas plutôt l'associativité du barycentre ?

Oui oui c'est ça, excusez-moi
Merci de me l'avoir fait remarquer car j'ai toujours dit "associabilité" et je n'ai jamais fait attention que je faisais cette faute .