entrainement concours général maths

[inviteb9990778]

Bonjour, j'ai trouvé une série d'exercices d'entrainements de M. Lafforgue et je cherche une solution à l'exercice 2.3 : trouver les couples d'entiers (n,m) tels que 3^n-2^m=1. Quelqu'un peut-il m'aider ?
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[invite76543456789]

Salut!
Tu peux resoudre l'equation 3u-2v=1, puis regarder des arguments de types parité des exposants.

[invite06b993d0]

encore un message annulé....

[inviteb9990778]

merci pour ta réponse ; j'ai effectivement fait l'équation diophantiene et j'arrive à une solution type 3^(n-1)=2k+1 et 2^(m-1)=3k+1 et là je bloque...

[A voir en vidéo sur Futura]

[thepasboss]

Toujours suivre sa première intuition quand on aborde un problème... Je viens de perdre 1 grosse heure sur cet exercice en cherchant dans des directions farfelues alors que j'avais la bonne voie dès le départ... En plus c'est très simple... Groumpf.

Bon trêve de grognements :

Bonsoir, voici le début de la solution si tu veux essayer de trouver la suite seul :

On remarque d'abord que m=1 et n=1 fonctionnent.

Considérons alors l'équation , avec m>0 et n>0. on peut lui faire subir la transformation suivante :

ce qui en utilisant la formule qui donne la somme d'une série géométrique nous amène à :

et donc en simplifiant des deux côtés par 2 on obtient



supposons maintenant que m soit pair, le terme de gauche est alors une somme de m+1 termes tous impairs, or m+1 est lui même impair, donc la somme est aussi impair. On a donc un nombre pair égale à un nombre pair, ce qui est absurde, donc m est impair, c'est à dire m = 2k + 1.

On remarque alors que l'on peut regrouper les termes de la somme de gauche deux par deux, c'est à dire :





et donc on constate que n est forcement plus grand que 2, et :



Je te laisse faire le même genre de raisonnement sur k pour conclure et rapporter ton résultat dans l'équation de départ (en prenant bien garde que dans l'équation que j'ai écrit il y a des "+1" après les n et m.

[invitecfc1e592]

ça peut peut être t'intéresser : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...8me_de_Catalan