Bonjour, j'ai trouvé une série d'exercices d'entrainements de M. Lafforgue et je cherche une solution à l'exercice 2.3 : trouver les couples d'entiers (n,m) tels que 3^n-2^m=1. Quelqu'un peut-il m'aider ?
-----
04/03/2012, 17h03
#2
invite76543456789
Invité
Re : entrainement concours général maths
Salut!
Tu peux resoudre l'equation 3u-2v=1, puis regarder des arguments de types parité des exposants.
04/03/2012, 17h47
#3
invite06b993d0
Date d'inscription
janvier 1970
Messages
292
Re : entrainement concours général maths
encore un message annulé....
04/03/2012, 18h58
#4
inviteb9990778
Date d'inscription
janvier 1970
Messages
2
Re : entrainement concours général maths
merci pour ta réponse ; j'ai effectivement fait l'équation diophantiene et j'arrive à une solution type 3^(n-1)=2k+1 et 2^(m-1)=3k+1 et là je bloque...
Aujourd'hui
A voir en vidéo sur Futura
06/03/2012, 00h25
#5
thepasboss
Date d'inscription
mai 2006
Localisation
Lyon
Âge
36
Messages
650
Re : entrainement concours général maths
Toujours suivre sa première intuition quand on aborde un problème... Je viens de perdre 1 grosse heure sur cet exercice en cherchant dans des directions farfelues alors que j'avais la bonne voie dès le départ... En plus c'est très simple... Groumpf.
Bon trêve de grognements :
Bonsoir, voici le début de la solution si tu veux essayer de trouver la suite seul :
On remarque d'abord que m=1 et n=1 fonctionnent.
Considérons alors l'équation , avec m>0 et n>0. on peut lui faire subir la transformation suivante :
ce qui en utilisant la formule qui donne la somme d'une série géométrique nous amène à :
et donc en simplifiant des deux côtés par 2 on obtient
supposons maintenant que m soit pair, le terme de gauche est alors une somme de m+1 termes tous impairs, or m+1 est lui même impair, donc la somme est aussi impair. On a donc un nombre pair égale à un nombre pair, ce qui est absurde, donc m est impair, c'est à dire m = 2k + 1.
On remarque alors que l'on peut regrouper les termes de la somme de gauche deux par deux, c'est à dire :
et donc on constate que n est forcement plus grand que 2, et :
Je te laisse faire le même genre de raisonnement sur k pour conclure et rapporter ton résultat dans l'équation de départ (en prenant bien garde que dans l'équation que j'ai écrit il y a des "+1" après les n et m.