[TS+] Entraînement au Concours Général

[invite2220c077]

Salut,

J'ai décidé de faire un mix d'un certain nombre d'exercices, de problèmes que j'ai été amené à résoudre durant mon entraînement, sous la forme d'un fichier PDF. Cette liste est bien sûr loin d'être exhaustive. Je la complèterai au fur et à mesure.
Pour le moment, je suis en cours de rédaction des solutions (ça met du temps pour tout "latexiser"), donc pour l'instant le PDF est fourni seulement avec les énoncés (ça incitera comme ça à chercher plus longtemps ).
Tous ces exercices sont faisables par un Terminale S. Lorsque l'exercice demande un théorème hors-programme, soit je l'introduis dans l'énoncé, soit je le fais démontrer en début d'exercice.
Par manque de recul, je n'ai pu les classer par difficulté croissante. Sachez tout de même qu'ils sont tous difficiles .

Le PDF en question : http://www.uniontvdfrance.com/images...Enement_cg.pdf

N'hésitez pas à poster vos solutions (en mode caché) ou à demander de l'aide.

Puisse ce PDF apporter de l'aide aux futurs Terminale S.

Bonne recherche.
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[mx6]

Hey !

Voici ma réponse de l'olympiade Russe 1989 : (il y a erreur le signe n'est pas strictement )

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D'après l'inégalité triangulaire donc donc
De même pour les autres cotés, on obtient:
*
on a
donc on remplace avec a+b+c=1
Le résultat s'ensuit

[invite2220c077]

Ta solution est juste.

Le signe est bien strict si le triangle n'est pas plat (ce qu'on suppose indirectement ici).
En effet, si , alors on peut montrer que , avec le rayon du cercle inscrit au triangle. Notre inégalité devient donc une égalité lorsque .

[invite2220c077]

Suite à une demande d'aide de la part de mx6 concernant la première question de l'exercice 3.2, je vais la proposer séparément et mettre quelques questions intermédiaires car elle fait appel à des formules qui ne sont pas officiellement au programme de géométrie du Collège/Lycée ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[mx6]

Très dur cet exercice, je ne crois pas qu'un niveau terminale y réussira, très très recherché!

[invite2220c077]

je ne crois pas qu'un niveau terminale y réussira

Jusqu'à preuve du contraire, je ne suis pas (encore) en prépa ... Mais oui, il n'est pas évident, je confirme.

[Thorin]

Mais tu as des connaissances bien supérieures à ce qui est est vu en prépa, dans certains domaines...

[mimo13]

Il est clair que cet exercice n'est pas aussi facile qu'il en a l'air mais trouver la réponse ne rentre certainement pas dans le cadre de l'impossible même pour un terminal S (que je suis).

[mimo13]

Bonjour
Je voudrais juste ajouter une chose que je viens de remarquer: l'inégalité de convexité (question 2.2.2) peut être utiliser pour montrer l'inégalité arithmetico-géométrique.

[invite2220c077]

Oui, en utilisant la fonction ln (qui est convexe) ? C'est pour ça que je l'ai mise dans cette partie car en fait il existe d'autres manières de la démontrer, par exemple par récurrence ou via l'inégalité du réordonnement.

[bubulle_01]

Oui, en utilisant la fonction ln (qui est convexe) ? C'est pour ça que je l'ai mise dans cette partie car en fait il existe d'autres manières de la démontrer, par exemple par récurrence ou via l'inégalité du réordonnement.

La fonction ln est concave. Cela signifie que -ln est convexe (sur R+)
Ceci s'explique très vite en calculant la dérivée seconde de -ln :

Ainsi la dérivée de -ln est croissante sur R+ soit -ln est convexe.

L'inégalité à démontrer d'ailleurs dans une certaine question n'est autre que l'inégalité de Jensen.

[invite2220c077]

Oui désolé je me suis embrouillé, c'est bien sûr concave. D'ailleurs je viens de voir que j'ai oublié de parler de la concavité (puisqu'alors on ne peut démontrer cette inégalité). En fait il suffit de renverser l'inégalité de convexité lorsque la fonction est concave.

[mx6]

Hep !

Montrer que si un triangle rectangle a ses côtes entiers, alors il en est de même pour le rayon de son cercle inscrit.

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Soit un triangle rectangle en , de côté .
Alors d'après la formule du rayon inscrit : étant la surface du triangle et son demi périmètre.
On a donc : , Or car le triangle est rectangle en . On obtient donc : . Par hypothèse sont des entiers, donc de même pour et . De plus dans un triangle rectangle, on a toujours : , donc ne peut jouer le rôle diviseur de mais de multiplicateur.Par suite , est un entier.

Ouf !

[invite2220c077]

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Si j'ai bien compris, comme bc et a, b et c sont entiers, alors par produit, r doit être entier comme on a égalité ? C'est faux, car le produit d'un entier et d'un rationnel par exemple peur donner un entier : 2*1/2 = 1 ... Donc, sauf erreur, ton argument n'est pas assez fort pour prouver que r est un entier

Mais l'idée est là. Il faut en fait montrer que pour tout a, b et c d'un triangle rectangle : a+b+c|bc

[mx6]

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Oui, j'ai juste démontrer que >1. Je vais revoir tout ça après !

[Thorin]

l'inégalité arithmetico-géométrique.

et même l'inégalité arithmético-géométrico-harmonique

[invite2220c077]

et même l'inégalité harmonico-géométrico-arithmético-quadratique

[Thorin]

Ui mais bon, c'est encore plus simple d'utiliser Cauchy Schwarz, pour celle là

[invite2220c077]

Hum, je trouve que c'est plus directe avec la convexité de la fonction .

[invite2220c077]

D'ailleurs tu viens de me faire penser que j'ai aussi oublié l'inég de Cauchy (qu'il faut utiliser pour une inég' de "Application" dans la partie convexité) Je rajoute ça de suite.

[Seirios]

Bonjour,

Je me suis penché sur le problème 1.5, mais avant de détailler mon raisonnement, j'aimerais vérifier que mon résultat soit correcte :

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Il n'existe qu'un seul polynôme P satisfaisant à la relation pour tout réel x, l'identité.

[invitef1b93a42]

Bonsoir,
Je recherche des informations concernant le polynôme utilisé en 2.1 pour démontrer la valeur de zéta de 2 c'est-à-dire de montrer que . Le polynôme en question vérifie .

Merci d'avance de vos réponses

[invite2220c077]

Phys2 > En effet

Equinoxx >

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Le polynôme est

[mx6]

Démonstration inégalité de Nesbitt :

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On va partir du résultat, puis aboutir à une ingélité évidente, après il suffit de faire marche arrière pour une bonne rédaction, ceci ne constitue qu'un brouillon
Commençons (long à écrire..)
On a



Le ne servant à rien, on développe et on obtient :

Cette dernière inégalité étant toujours vérifié dans , on peut donc conclure.

[invite2220c077]

Ca me semble correct, calculs à vérifier tout de même vers la fin

[invite2220c077]

Une généralisation de l'inégalité de Nesbitt :

Soit un entier et des réels positifs. On a l'inégalité suivante :

[mimo13]

Voici ma réponse à l'exercice complet 2.1 qui est la somme des inverses des carrés:

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1)Convergence de Sn:

Donc Sn est croissante
Et on a donc =>
Donc d'ou Sn est convergente.
2)Le fonction :
Domaine de definition:
Dérivée:
3)La je suis pas sur de l'unicité du polynome
Soit
on a
Ici on divise la somme d'après la parité de n ce qui donne:

Donc le polynôme P est :
Je suis hyper fatigué maintenant je continue le reste après

[invite2220c077]

Pour le moment c'est bon. J'attends la suite.

[mimo13]

Ok mais ce qui me dérange c'est que je sens que je n'ai pas parlé de l'unicité du polynôme P.

[mx6]

Je ne suis pas courageux

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Bon pour les autres méthodes il y a avec Cauchy Shwartz ect.. Je vais utiliser l'inégalité de Jensen qui me parait plus facile.

Posons

Et la fonction qui associe à l'image . Elle est convexe.
Alors d'après Jensen :


Or

Par suite :

Soit :