[TS+] Entraînement au Concours Général

[invitec317278e]

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Si a+b+c=0, n'est-il pas possible d'enlever une variable de l'équation ??

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[invite2220c077]

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Pour la question 3. du même exo, je raisonne de la même façon en remarquant que et donc après simplification.

Je trouve le triplet solution (0,0,0) et je pense que c'est le seul. Mais je vois pas comment le démontrer.

Salut,

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Premièrement montre que l'on peut se ramener au cas où a, b et c sont des entiers. L'idée est en fait de montrer qu'il n'existe pas d'autres couples que (0,0,0).
Pour montrer cela, montre que si (a, b, c) est solution, alors le couple est aussi solution pour tout entier naturel . Conclus.

[invitec317278e]

Autre manière :

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En virant b de l'équation (b=-a-c), on arrive directement sur (sauf erreur de ma part). Or, la racine cubique de 2 est irrationnelle.

[invite2220c077]

Ah non Thorin, en fait il parlait de l'exercice 1.2.3.

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Le "a+b+c=0" se référait en fait à la relation de l'énoncé, par rapport au fait que d'après la formule du 1. : a+b+c = 0 => a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Voir son message précédent.

[invitec317278e]

Ah non Thorin, en fait il parlait de l'exercice 1.2.3.

Oui, évidemment, je n'étais pas allé relire l'énoncé...mes plus plates excuses

[invite652ff6ae]

Salut,

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Premièrement montre que l'on peut se ramener au cas où a, b et c sont des entiers. L'idée est en fait de montrer qu'il n'existe pas d'autres couples que (0,0,0).
Pour montrer cela, montre que si (a, b, c) est solution, alors le couple est aussi solution pour tout entier naturel . Conclus.

Merci

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Si (a,b,c) est solution, alors (1)

En divisant (1) paravec n entier naturel on obtient :




donc si (a,b,c) solution, alors le couple est aussi solution pour tout entier naturel .
Par contre je vois pas en quoi ça conclut.

[invite2220c077]

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Non, ce n'est pas comme ça qu'il faut s'y prendre, parce que là rien ne nous dit que a/2^s, b/2^s et c/2^s sont entiers ... Tu as oublié de montrer qu'on pouvait se ramener au cas où a, b et c étaient des entiers, d'abord.
Puis, tu raisonnes par l'absurde. Tu supposes qu'il existe un couple d'entiers non nuls (a,b,c) solution. Montre que a, b et c sont pairs. En déduire que (a/2^s, b/2^s, c/2^s) est aussi solution pour tout s. Puis en déduis que nécessairement a = b = c = 0

[invitec317278e]

je reviens à la charge
autre méthode, si tu ne vois pas comment conclure (sauf, encore, erreur de ma part ) :

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tu te ramènes au cas des entiers, tu divises par le cube de leur PGCD, on obtient donc une équation où l'on peut supposer que a,b et c n'ont aucun facteur supérieur à 1 en commun, puis tu montres successivement que a est pair, puis que b est pair, puis que c est pair. Ceci contredit le fait qu'ils n'aient aucun facteur en commun.
Si tu veux faire comme te l'indiques -Zweig-, il me semble qu'il faille aussi montrer que les nombres sont pairs, puis ensuite, dire que le triplet des moitié est entiers, et solution, puis, on utilise le principe de descente infinie. C'est quasiment la même chose que moi

Edit : grillé en beauté

[invite2220c077]

Pour Thorin :

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Sauf que le principe de la descente infinie, d'une part n'est pas au programme et c'est seulement si on a une suite d'entiers positifs. Or là on travaille avec des entiers (bon en fait on peut aussi se ramener dans le cas où ce sont des naturels en remarquant que (-a,-b,-c) est aussi solution), mais de toute façon c'est le même principe puisqu'on montre que 2^s divise a, b et c pour tout s, ce qui n'est possible que si a, b et c sont nuls.

[invitec317278e]

Bah si les entiers sont négatifs, alors, la suite est strictement croissante, et ce n'est pas moins impossible

Et le PGCD de 3 entiers est vu, en spé maths, ou pas, au fait ? (j'ai pas fait spé maths, moi, au lycée, je sais pas vraiment ce qu'on y voit )

[invite2220c077]

Non pas officiellement, mais bon, elle coule de source.

[invite2220c077]

Une autre manière de faire pour "éviter" de parler explicitement de la descente infinie, mais qui rejoint un peu ma solution :

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On se ramène au cas où a, b et c sont des entiers naturels non nuls (car (-a, -b, -c) est aussi solution). On suppose par l'absurde qu'il existe au moins un couple solution. Parmi eux, il en existe forcément un qui minimise la somme a+b+c . On montre que (a/2, b/2, c/2) est aussi solution. Or a/2 + b/2 + c/2 < a + b + c, ce qui contredit la minimalité de a+b+c.

[invitec317278e]

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De toute façon, à partir du moment où l'on accepte de dire que "un couple minimise la somme a+b+c" sans le démontrer, on peut redémontrer la descente infinie en une ligne...donc autant le faire

[invite652ff6ae]

Une autre manière de faire pour "éviter" de parler explicitement de la descente infinie, mais qui rejoint un peu ma solution :

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On se ramène au cas où a, b et c sont des entiers naturels non nuls (car (-a, -b, -c) est aussi solution). On suppose par l'absurde qu'il existe au moins un couple solution. Parmi eux, il en existe forcément un qui minimise la somme a+b+c . On montre que (a/2, b/2, c/2) est aussi solution. Or a/2 + b/2 + c/2 < a + b + c, ce qui contredit la minimalité de a+b+c.

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Si (-a, -b, -c) est aussi solution, cela montre qu'on peut se ramener aux cas des entiers ? Si oui, pourquoi ?

[invite2220c077]

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a = x/y, b = u/v, c = w/z. D'après la relation de l'énoncé, on remarque que si (a,b,c) est solution alors (x,u,w) l'est aussi. On peut donc se ramener au cas où a, b et c sont des entiers et comme (-a, -b, -c) est aussi solution, on peut donc se ramener au cas où a, b et c sont des entiers naturels.

[bubulle_01]

Alors voici mon raisonnement :

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Supposons que le polynôme P soit caractérisé par : .

On a alors (1)

Ensuite, il est immédiat que l'identité soit solution, donc , d'où (2)

De (1) et (2), on déduit , soit .

Ainsi, .

Ensuite, P étant un polynôme, elle est continue sur IR, d'où :.

Or , d'où ou .

On a donc .

Ensuite, considérons la suite définie sur IN par .
On a alors et si . Par récurrence, on montre donc : , ou autrement dit, tous les sont des antécédents de 0.

Néanmoins, , donc est strictement croissante. Donc pour tout .

Ainsi, 0 possède une infinité d'antécédents par .

Or est un polynôme, puisque somme algébrique de deux polynômes.

Ce polynôme possède ainsi une infinité de racines ; cependant, un polynôme non nul K possède au plus racines. On en déduit que est le polynôme nul, et donc que P est l'identité.

La réciproque est immédiate, et a déjà été mentionnée plus haut.

Je ne suis pas convaincu par la première partie ... soit il y a quelque chose que je ne vois pas dans ta démo, soit il y a une erreur.

[invite1237a629]

Moi j'veux bien le fichier .tex du pdf

/me a besoin d'entraînement ^^

[Seirios]

Je ne suis pas convaincu par la première partie ... soit il y a quelque chose que je ne vois pas dans ta démo, soit il y a une erreur.

Pourrais-tu être plus explicite ? Qu'est-ce qui te pose problème ?

[invitec317278e]

Moi, si le fait que le carré soit à la mauvaise place dans la relation (2) est bien une coquille, je suis OK

[Seirios]

Effectivement, il faut lire .

[invite2220c077]

Salut,

Mimoi > Pas possible, je ne fais pas ça en Latex, j'utilise LyX.

J'ai rajouté l'exercice 1.8 ainsi que la partie "Divers".

Enjoy !

[invite9a322bed]

Bonjour,
Olympiade Autriche 2002 :

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On a

Soit :

De plus on sait que , soit en remplaçant par sa valeur on obtient :



Soit avec .

Par suite :

[invitec317278e]

Mx6 :

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-d'une part, tu ne règles par le cas où x est négatif
-d'autre part, tu ne te sers pas du tout du fait que x est rationnel , ce qui t'empêche d'aller bien loin même dans le cas où x est positif.

pour le cas où x est positif, si je ne me suis pas trompé (mais en ce moment, je me trompe tout le temps..., on peut faire comme suit :

Soit entier strictement positif
soit , , entiers positifs premiers entre eux tels que :

alors est multiple de : , et :

si , alors, est multiple de : contradiction car q et p sont supposés premiers entre eux.

donc , et donc et , et alors l'équation de base n'a aucune solution, en effet, on impose maintenant à b d'être la partie entière de p/q, qui est supérieure à 2.


Le cas négatif, je n'y ai pas réfléchi, mais il doit vite se régler en constatant qu'il faut alors x<1, et donc, la partie entière de x est connue, etc...

[invite2220c077]

Salut,

Ton bout de solution m'a l'air correct Thorin

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Perso' j'ai utilisé les valuations p-adiques, mais j'voudrai bien voir la suite de ta démo

[invitec317278e]

la suite vient toute seule :

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Supposons maintenant x négatif.
Alors, ça impose manifestement (afin que l'inverse de x, élevé à une puissance alors positive, soit supérieur à 1 les fois où il est positif...)
Ceci impose donc , ce qui donne, réinjecté dans l'équation : , ce qui est absurde : x est censé être ici négatif.

On remarque au passage que sauf erreur dans la démo, pour le cas x négatif, il n'est même plus la peine de suppose x rationnel.

[invitec317278e]

je fais le 3.5 (somme de 3 carrés) entre 2 épisodes de dr house, parce qu'il est fun :

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l'exo repose sur les constatations :
- (car a est différent de c)
- lorsque ceci a un sens.

[invite2220c077]

Joli !

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Perso, je n'ai pas utilisé la factorisation, j'y suis allé à coup de modulo 3 avec l'identité et un raisonnement par l'absurde.

[invitec317278e]

ça a l'air compliqué, tout ça

[invite2220c077]

Je viens de voir que j'ai fait une boulette dans ma solution

[invitec317278e]

la mienne gagne en valeur, alors

j'allais rédiger le 2.6....mais pfiou, en latex et sans utiliser les notations du supérieur, trop chiant