[TS+] Entraînement au Concours Général

[invite2220c077]

Quelle est la limite trouvée ?
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[invitec317278e]

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De tête (comme je l'ai dit, je n'ai pas rédigé), ça doit être du , ou quelque chose d'approchant

[invite2220c077]

Oui c'est ça.

[invitec317278e]

en utilisant les équivalents usuels, ça se fait très bien, mais en rédigeant de manière à utiliser clairement la composition de limites et tout, c'est vraiment lourd :s

au passage, cette formule permet de retrouver e le nombre d'euler comme limite de (1+1/n)^n

[invite2220c077]

Ah oué j'avais pas fait gaffe

[Seirios]

Je n'avais pas vu que le document était mis à jour Voici donc ma solution pour le problème 6.4 :

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On note les parties entières ; par définition, on a :



En notant , on obtient .

Or la fonction définie sur par est convexe (fonction dérivable dont la dérivée seconde est positive), d'où pour tout .

Ainsi, et alors .

On montre donc bien que .

[invitec317278e]

Ainsi,

tu peux détailler ce passage ?

[invite55dcb7a8]

Pour l'exercice de la limite en +oo de

(f(a+1/n)/f(a))^n

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On suppose f(a) > 0 (le cas f(a) < 0 est le même pratiquement mais il faudra changer le signe à cause des ln)

(f(a+1/n)/f(a))^n
= exp(n.[ln(f(a+1/n))- ln(f(a))])
= exp(n/n.[ln(f(a+1/n)-ln(f(a))/(1/(1/n))]

Or lim 1/n = 0 donc
lim (ln(f(a+1/n)) - ln(f(a)))/(1/n) = f'(a)ln'(f(a)) = f'(a)/f(a)

Donc lim exp(n/n.[ln(f(a+1/n)-ln(f(a))/(1/(1/n))] = exp(f'(a)/f(a))


Désolé je me débrouille mal avec les latex

[Seirios]

tu peux détailler ce passage ?

C'est incorrect, j'ai raisonné comme si évoluait tandis que les parties entières restaient fixes...De plus, j'écris ensuite que , ce qui est a priori faux...
Je fais refaire un raisonnement.

[Seirios]

Je fais refaire un raisonnement.

Ou plutôt le rectifier, il me suffit de trouver un encadrement de alpha pour en trouver un de .

[Seirios]

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On note les parties entières ; par définition, on a :



En notant , on obtient .

Or la fonction définie sur par est convexe (fonction dérivable dont la dérivée seconde est positive), d'où pour tout .

Ainsi, et alors .

On montre donc bien que .

Je reprends donc mon raisonnement juste après avoir montré :

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Pour déterminer une borne supérieure de , on étudie la fonction définie sur par ; f est continue et dérivable sur .

On a , qu'on montre négatif par la convexité de . De même, on vérifie que . Donc f est décroissante sur .

D'où .

On a donc .

On montre que le cas est impossible par un contre-exemple ; d'où l'égalité.

J'espère ne pas avoir fait d'erreurs cette fois-ci...

[invitec317278e]

On a donc .

On montre que le cas est impossible par un contre-exemple ; d'où l'égalité.[/SPOILER]

Ok, on a , mais cela signifie-t-il que doit garder la même valeur pour tout n ? quand as-tu prouvé que la valeur ne pouvait pas changer ? Pourquoi pas d'oscillations entre 0 et 1 ?

[invitec317278e]

PS :
n'hésite pas à demander si tu veux de l'aide.

[invite2220c077]

MAJ dans la partie "Analyse" et "Arithmétique" (petit coup de coeur pour le 2.7 ).

[Seirios]

PS :
n'hésite pas à demander si tu veux de l'aide.

A quoi cela sert de faire des exercices difficiles si c'est pour se voir souffler la réponse Je m'y remets un peu ce soir, sinon je réessaierai demain.

[AMA112]

Question 6.4, avec une méthode complètement différente de celle de Phys2

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On remarque tout d'abord que l'inégalité est toujours vérifiée. En effet, on part de l'inégalité évidente


Il reste donc à démontrer qu'il n'existe aucun entier tel que , soit en élevant au carré, . Or il est immédiat que , par conséquent vérifie , d'où . Mais comme un carré est toujours congru à 0 ou à 1 modulo 4, il en résulte que l'entier n'existe pas, d'où la conclusion.

C'est bon?

[invite2220c077]

Exact, c'est ce que j'avais fait

[Seirios]

Je me suis un peu repenché sur mon raisonnement, mais je n'ai pas encore trouvé un moyen d'exclure dans la réciproque le cas où , et comme je rentre en période de bac blanc, je ne vais pas avoir le temps d'approfondir ; quelqu'un voit-il un moyen d'aboutir ? (il y a toujours moyen de reprendre le raisonnement de AMA112, mais il ne serait pas utile de reprendre ma démonstration)

[bubulle_01]

Pourrais-tu être plus explicite ? Qu'est-ce qui te pose problème ?

Tu dis :
"Ensuite, il est immédiat que l'identité soit solution, donc "
Si je comprends bien tu déduis de :
et
que
Mais moi je vois juste comme conclusion :

[leon1789]

Question 6.4, avec une méthode complètement différente de celle de Phys2

C'est comparable à ce que tu fais, mais personnellement, je "confonds" la partie entière d'un réel x et l'ensemble des entiers . Ici, on travaille uniquement dans R+

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n'est pas possible car 2 n'est pas carré modulo 4,
donc <=>
donc <=>
donc et ont mêmes parties entières.
Or car ...

donc et et ont mêmes parties entières

[Seirios]

Tu dis :
"Ensuite, il est immédiat que l'identité soit solution, donc "
Si je comprends bien tu déduis de :
et
que
Mais moi je vois juste comme conclusion :

La coquille a été relevée par Thorin au message #79.

[bubulle_01]

La coquille a été relevée par Thorin au message #79.

Oui, mais l'erreur de frappe relevée n'est pas ce que j'ai cité !

[Seirios]

Oui, mais l'erreur de frappe relevée n'est pas ce que j'ai cité !

Effectivement, au temps pour moi. Il s'agit bien d'une erreur :

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Le raisonnement par récurrence peut être cependant conservé, puisque l'on a . Ce qui est gênant, c'est de retrouver l'imparité de P. Cependant, par la continuité de P, la condition P(x)²=P(-x)² implique que P est soit paire soit impaire ; le cas impaire est traité, et il faudrait ensuite considérer le cas paire, pour finalement trouvé qu'il est impossible.

Merci pour ta remarque, encore un peu et l'erreur passait inaperçue

[invite55dcb7a8]

Pour le dragon à 100 têtes j'ai réfléchi 5 min et

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je pense que non car 100 n'est pas divisible par 3

[bubulle_01]

Pour le dragon à 100 têtes j'ai réfléchi 5 min et

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je pense que non car 100 n'est pas divisible par 3

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En utilisant l'invariance du nombre de tête modulo 3, en effet le nombre de tête n'est jamais nul

[invitec317278e]

Entre 2 épreuves de centrale, une solution (longue, par contre) pour l'exercice sur le polynôme de phys2 :

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Manifestement, P n'a pas de racines supérieures à 1.
Supposons que 0 ne soit pas racine de P, alors, on dérive la relation de base, et on obtient :

En évaluant en 0, on trouve que 0 est racine de .
Ensuite, en divisant la relation par x, et en utilisant la continuité d'un polynôme, on fait tendre vers 0, et on trouve que
Puis, évaluant en 1, on trouve que , puis évaluant en 2, on trouve que
Poursuivant par récurrence une récurrence triviale, P' a ainsi une infinité de racines, il est alors nul, et P est constant, ce qui ne marche pas.
Donc, P s'annule en 0, et alors, une récurrence triviale donne que en une infinité de points, donc, partout.

[Seirios]

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Donc, P s'annule en 0, et alors, une récurrence triviale donne que en une infinité de points, donc, partout.

Ce dernier argument me paraît un léger ; une propriété peut très bien être vérifiée sur une infinité de points sans pour autant l'être sur , non ?

[invitec317278e]

Si 2 fonctions polynômes sont égales en une infinité de points, les polynômes sont égaux. C'est le même argument que "un polynôme s'annulant une infinité de fois est nul", appliqué à

[Seirios]

Effectivement, merci pour cette précision

[invitef1b93a42]

Voici ma réponse pour le 2.6 :

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On sait que donc, le développement limité est . En prenant , il vient . Or, d'où, en posant . Donc, .

Si vous avez une autre méthode pour le démontrer, je suis preneur