[TS+] Entraînement au Concours Général

[Seirios]

C'est équivalent, puisque .
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[invitec317278e]

Tenez, les 2 premières questions du sujet de l'ENS de ce matin :

1- soit p entier naturel, et n supérieur à p.
Montrer que

2- soit , .
Montrer qu'il existe t-uplets d'entiers tels que

Rappels :
- est "k parmi n"
-un t-uplet est une suite à t éléments.

2 petites questions qui devraient vous faire réfléchir quelques minutes.

[invite2220c077]

Salut,

1) Soit l'ensemble des parties à éléments de dont le plus petit élément est i. Il s'ensuit que :



D'un autre côté, constitue une partition de l'ensemble des parties à éléments de , d'où :



2) On considère un segment de longueur . Toute solution de l'équation équivaut au choix de points parmi les points . Il s'ensuit qu'il existe -uplets d'entiers naturels dont la somme vaut .

[bubulle_01]

Pour le 1, récurrence ?

Pour le 2, si on note ce nombre, en fixant qui peut varier de 0 à n on a :

soit
De plus et
En partant de cela, vérifie une récurrence définie par des conditions initiales, et cette suite est donc unique.
Il ne reste donc plus qu'à montrer que le coefficient binomial présenté vérifie la récurrence, en utilisant la relation de la question précédente peut être. (Heureusement qu'il donne la valeur à trouver !)

[invite2220c077]

Si un modérateur pouvait modifier mon message pour mettre correctement les coeff binominaux ...

[bubulle_01]

Je trouve ta conclusion un peu rapide pour le 2)
Après, pour le 1) j'arrive pas à lire ^^

Pour ce qui est du sujet de l'ENS, il a l'air assez compliqué cette année non ?

[invitec317278e]

Tout d'abord, je corrige l'énoncé, les entiers sont supposés naturels dans la question 2).

2) On considère un segment de longueur . Toute solution de l'équation équivaut au choix de points parmi les points . Il s'ensuit qu'il existe -uplets d'entiers naturels dont la somme vaut .

Tu raisonnes faux, pour au moins 2 bonnes raisons :
-Il n'est pas dit que l'on doive "avancer" à chaque fois, le sur-place est autorisé, et si je comprends bien ce que tu écris, tu considères implicitement que l'on doit toujours avancer.
-en conséquence, ton résultat est faux, si on prend par exemple t>n, que devient-il ?

bubulle_01, oui, une simple récurrence pour le 1) marche très bien, et pour le 2), je suppose qu'on s'attendait à une justification de la relation de récurrence que tu as mise en valeur.
Ceci dit, j'en sais rien, moi^^

[invite1237a629]

Pour le 2), il faut visualiser ça comme des cases.
Puisqu'on a t éléments a_i, il faut considérer t cases.
Et puisqu'on veut une somme totale de n, il faut considérer n éléments à mettre dans ces cases.

Donc on imagine n boules, et on considère t-1 "barres" pour séparer les cases. Combien y a-t-il de possibilités de les placer ?

Ouais, c'est des probas lol.


Voilà une méthode indigeste : http://fr.wikipedia.org/wiki/Combina...9p.C3.A9tition

[invitec317278e]

Ceci dit, ici, la méthode suggérée était sans doute de se servir de la question a).

[invite2220c077]

Ok, pour la 2), je reviens à la charge ave$

[invitec317278e]

c'est moi, ou il manque une bonne partie à ce post ?

[invite2220c077]

Owned by TAB .... Bon, là je vais partir, je rédigerai ça ce soir.

[bubulle_01]

Pour montrer que la valeur donnée vérifie bien la récurrence que j'ai etabli :

En partant de l'égalité précédente, et donc la récurrence est vérifiée.
On peut en déduire que

(J'ai regardé les questions suivantes, elles nécessitent de l'astuce aussi !)

[invitec317278e]

la question suivante, d'ailleurs, étant simple, j'peux la mettre aussi (après, ça demande des connaissances de sup') :

vérifier l'encadrement

[invite9a322bed]

Une réccurence sur t.

[invitec317278e]

une récurrence sur t ? développe ?

[invitec317278e]

une autre question de l'ENS si ça vous amuse :


On note le nombre d'élément d'un ensemble
Soit et des parties finies non vides de .
On définit comme étant .
Montrer que

[invite243994aa]

Moi j'arrive même pas le 1er exo avec les suite "suite récurrente linéaire d'ordre 4"....

[invitec317278e]

Moi j'arrive même pas le 1er exo avec les suite "suite récurrente linéaire d'ordre 4"....

les exos ne sont pas spécialement triés par ordre de difficulté croissante ; ne pas réussir un ne signifie rien quant à la réussite des autres.

Aide pour celui avec la suite récurrentes linéaire d'ordre 4 : calculer les premiers termes. Comme chaque terme est divisible par son indice, calculer aussi les termes divisés par leurs indices, et voir si ça ne donne pas un début de suite connue.
Confirmer le résultat par récurrence.

La solution a été postée il y a plusieurs pages quand tu la voudras.

[invite652ff6ae]

Bonjour,

j'ai un exercice qui me pose quelques problèmes.

Trouver toues les fonctions polynoômes P du troisième degré telles que pour tout x réel : .

J'ai essayé de poser . J'arrive à montrer que nécessairement d = 0.
Ensuite je n'aboutis à rien en exploitant l'égalité (en dérivant etc..)

Merci

[invitec317278e]

en partant comme tu pars :



Or 2 polynôme sont égaux seulement lorsque tous les coefficients sont égaux.

donc

ce qui impose, en plus de d=0, b=0 et c=0

conclusion : les seuls polynômes du troisième degré vérifiant ton équation sont de la forme

Edit : d'ailleurs, il n'existe pas de polynôme de degré supérieur à 3 vérifiant l'équation.

[invite652ff6ae]

en partant comme tu pars :



Or 2 polynôme sont égaux seulement lorsque tous les coefficients sont égaux.

donc

ce qui impose, en plus de d=0, b=0 et c=0

conclusion : les seuls polynômes du troisième degré vérifiant ton équation sont de la forme

Edit : d'ailleurs, il n'existe pas de polynôme de degré supérieur à 3 vérifiant l'équation.

Ah bah oui merci

[invitec317278e]

une autre question de l'ENS si ça vous amuse :


On note le nombre d'élément d'un ensemble
Soit et des parties finies non vides de .
On définit comme étant .
Montrer que

Tant que j'y suis, je peux aussi poster la suite de ça, qui vient toujours du sujet de l'ens mp de vendredi dernier :

montrer que si , alors, il existe a, b, d, entiers tels que :



c'est juste pour faire réfléchir un peu Zweig, qui a l'air de s'ennuyer
Ca ne demande que des connaissances de Terminale S, et pas de technique spéciale apprise et rabâchée en prépa.

[invite2b662c2b]

Bonjour,

L'énoncé 6.2 me semble faux, en voici un contre exemple :

On considère un parlement de 5 membres : 1 2 3 4 et 5 tel que chaque député à pour ennemi les 3 députés suivants dans l'ordre (en repartant à 1 après le député 5). C'est à dire :
1 a pour ennemis 2 3 4
2 a pour ennemis 3 4 5
3 a pour ennemis 4 5 1
4 a pour ennemis 5 1 2
5 a pour ennemis 1 2 3

Supposons qu'il existe 2 sous parlements A et B tels que chaque député ait au plus 1 ennemi dans son sous parlement.

Du fait que 5 soit pair, il y existe nécessairement 2 députés successifs dans le même sous-parlement (en appelant successif les paires 12 23 34 45 et 51) (en effet impossible de placer 5 lettres A ou B sur un cercle de sorte que 2 lettres adjacentes soient toujours distinctes)
Supposons donc sans perte de généralité que 1 et 2 font parti du sous parlement A

Comme 2 est un ennemi de 1 et qu'ils sont dans le même sous parlement, les autres ennemis de 1 sont nécessairement dans l'autre sous parlement B. Donc 3 et 4 sont dans B

4 est un ennemi de 3 et ils sont tous les 2 dans B, donc les autres ennemis de 3 sont dans A. Donc 5 est dans A (et 1 aussi mais il y était déjà, pas de problème).

Résultat, 5, 1 et 2 sont dans A, or 1 et 2 sont deux ennemis de 5. Contradiction.

Conclusion, à partir de 5 députés, cette propriété est fausse (pour tout nombre supérieur à 5, il suffit que 5 député soit dans le cas ci dessus pour former un contre exemple).

Denoby

[invitec317278e]

bon et bien apparemment, les questions de l'ens n'emballent personne, tant pis.

[invite9a322bed]

Ne désespère pas Thorin ,

Pour la première question :

Le second membre est le coefficient de dans le développement de :
qui est la somme de termes d'une suite géométrique de raison . Cette somme vaut donc :



soit :

.

Le coefficient de dans le crochet est simplement . La formule cherchée en résulte.

Pour la deuxième question, pour après

[invite9a322bed]

Autre solutions possible :

2ème :
Appliquer la formule de Pascal, sommation de proche en proche. (+ de détails sur demande)

3ème : (celle-ci n'est pas la mienne, trouvée dans un de mes livres)

Pour former une partie de éléments pris dans une suite de éléments, on peut :

-accepter le premier et choisir autres parmi (de manières);
- refuser le premier, accepter le deuxième, et choisir autres parmi (de manières);
- refuser les deux premiers, accepter le troisième et choisir autres parmi jusqu'à refuser les premiers, accepter le , et choisir les autres parmi , ce qui est possible de manières.

Cette dernière est un peu difficile, d'ailleurs, j'y comprend pas grand chose

[invitec317278e]

Que ne comprends-tu pas pour la dernière démo ?

Cependant, cette question, c'était la toute première du sujet, et sans doute la plus facile, c'est pas sur celle là qu'il faut perdre une heure^^

[invite9a322bed]

Je sais pas, je n'aime pas (ou refuse de comprendre cette démonstration), c'est comme une fatalité, je comprend pas les raisonnements comme ça, même la démo de la formule de Pascal avec le blabla, je la comprend pas ^^

[invitec317278e]

pourtant, c'est du raisonnement pur, il faut comprendre ce genre de choses