[TS+] Entraînement au Concours Général

[invitef1b93a42]

Réponse au 3.8 :

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Montrons que , avec les longueurs des côtés d'un triangle. On pose , et . On a alors . Montrons que x, : on sait que . Or, d'où .
Ainsi, en reprenant les valeurs de du début, il vient . En procédant de même pour et , on obtient fianelement .

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[invite9a322bed]

??????? Réponse à la question 3.8 ?

[invite2220c077]

C'est ça Equinox. C'est la première solution que j'avais trouvée (c'est un réflexe dès qu'on traite des inégalités avec des côtés d'un triangle de faire la transformation de Ravi que tu as faite). Une autre manière de faire (enfin, je démontre autrement l'inégalité qui va permettre de conclure) :

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On a :

D'où

On fait de même pour les autres, on somme et on divise par 2.

[invite9a322bed]

Je ne comprend pas ! 3.8 = Variante du grand théorème de Fermat !

http://www.uniontvdfrance.com/images...Enement_cg.pdf

[invite2220c077]

Il parlait du 1.8 en fait.

[invitef1b93a42]

Réponse à la 2.2.4, Inégalité de Nesbitt :

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Soient . Prenons . D'après l'inégalité de réordonnement ( est maximale pour .), et . D'où, en sommant, .

[invite2b662c2b]

En ce qui concerne l'énoncé 6.2, d'où sort-il ? Est-ce une erreur de retranscription ? (j'insiste, il me semblait sympa comme problème)

Denoby

[invitef1b93a42]

L'exercice 6.2 ne semble pas comporter d'erreurs, je crois savoir que Zweig l'a extrait d'une série d'exercices proposés lors d'un stage d'Animaths, il ne devrait donc pas être faux.
Concernant l'exercice sur , aurais-tu, Zweig, une démonstration de l'unicité du polynôme en question et de chaque racine du polynôme stp ? Le reste est assez simple.

[invite2b662c2b]

L'exercice 6.2 ne semble pas comporter d'erreurs.

Cf mon message dans la page précédente où je propose un contre exemple. De 3 choses l'une, ou bien l'énoncé est faux, ou bien le contre exemple comporte une erreur, ou bien le contre exemple ne correspond pas à l'énoncé qui manque alors de clarté. Dans tous les cas, j'aimerais en savoir un peu plus ^^

A part ça, merci pour la référence

[invite2220c077]

Denoby > J'ai vérifié, et l'énoncé est bien correct. Donc ton contre-exemple comporte une coquille, je vais voir ça (désolé je n'avais pas vu ton message auparavant).

Equinoxx > Pour l'unicité du polynôme, il faut que je revoie ça (j'ai oublié ma démarche), par contre pour l'unicité des racines, voici comment j'ai procédé :

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Supposons qu'il existe deux entiers naturels et tels que et vérifiant Nous allons montrer que, nécessairement, :



avec

Si avec , alors , impossible par hypothèse.
Si , alors , ce qui contredit l'hypothèse de départ, d'où et .

Si avec , alors



d'où , impossible par hypothèse.
Finalement, si , alors , impossible. D'où et .

Dans tous les cas, on montre que . Ce qui prouve l'unicité des racines.

[invite2b662c2b]

l'énoncé est bien correct. Donc ton contre-exemple comporte une coquille,

Attention a ne pas perdre son objectivité . Les erreurs d'énoncé ça existe, je sais de quoi je parle, quelque soit le nombre de relecture j'en ai toujours vu se glisser dans mes sujets.
Enfin, si erreur il y a dans mon contre-exemple, je pencherais pour une mauvaise interprétation de l'énoncé, et effectivement je serais curieux de savoir laquelle. Merci d'y jeter un oeil en tout cas.

[invite2220c077]

En fait j'ai cru que j'avais mal recopié l'énoncé par rapport à l'énoncé original. Si l'énoncé original n'était pas correct, alors il doit y avoir quelque chose de faux dans ma solution :

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On considère toutes les partitions du parlement en deux sous-parlements et pour chacune d'entre elle on compte le nombre total T d'ennemis que chaque député a dans son propre sous-parlement. On dispose d'un nombre fini de partitions. Ainsi, parmi toutes les valeurs de T, il en existe une qui est minimale. Si un des députés du sous-parlement associé à cette valeur de T a au moins deux ennemis dans son sous-parlement, alors il en a au plus un dans l'autre. En le déplaçant dans ce dernier on fait décroître T (comme la relation "être ennemi" est symétrique. A la limite, c'est ce que j'aurai du précisé), minimum par hypothèse. On obtient une contradiction. Ainsi les partitions qui ont un nombre T minimum sont solutions du problème.

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

voilà où ça coince :

2 a pour ennemis 3 4 5
3 a pour ennemis 4 5 1

L'hypothèse de symétrie de "être ennemi" n'est pas respectée dans ton contre-exemple :
3 est un ennemi de 2
mais 2 n'est pas un ennemi de 3.

Il est vrai que cette hypothèse n'est pas précisée dans l'énoncé (cf dernier message de Zweig).

[invite2b662c2b]

L'hypothèse de symétrie de "être ennemi" n'est pas respectée

Ha effectivement en rajoutant qu'un député est forcément l'ennemi de ses ennemis ça change tout et rien ne l'indique dans l'énoncé.
Merci pour cette remarque, je vais voir ce que ça donne.

[invitec317278e]

L'exercice 6.2 ne semble pas comporter d'erreurs, je crois savoir que Zweig l'a extrait d'une série d'exercices proposés lors d'un stage d'Animaths, il ne devrait donc pas être faux.
Concernant l'exercice sur , aurais-tu, Zweig, une démonstration de l'unicité du polynôme en question et de chaque racine du polynôme stp ? Le reste est assez simple.

Pour l'unicité du polynôme, il suffit de voir que 2 polynômes prenant les mêmes valeurs en un nombre infini de points sont égaux

[invite9a322bed]

Pour l'unicité du polynôme, il suffit de voir que 2 polynômes prenant les mêmes valeurs en un nombre infini de points sont égaux

Je me suis toujours poser la question, comment peut on démontrer que deux polynômes prennent des mêmes valeurs en une infinité de points !

[Flyingsquirrel]

comment peut on démontrer que deux polynômes prennent des mêmes valeurs en une infinité de points !

C'est vraiment la question que tu voulais poser ? Parce que la réponse découle directement de la définition de à la question 3.

[invite9a322bed]

Je ne parle pas de cet exercice, mais en général !
(sinon, tu peux poster la démo de l'unicité de ton post sur Zeckendoff, Fibonacci ?)

[invitec317278e]

ben on peut montrer qu'ils sont égaux
ou que leur différence s'annule sur un intervalle
ou que P(f(x)) et Q(f(x)), avec P et Q polynômes et f fonction prenant une infinité de valeurs, sont égaux sur R...

[invite9a322bed]

Ok merci Thorin

[invite9a322bed]

Voici un bon exercice d'arithmétique (pas difficile, mais astucieux) (tiré du Bac sciences mathématiques du Maroc 2009) :

On pose pour tout entier naturel :

Soit un nombre premier strictement supérieur à 3, montrer que divise

(Ajoute le à ton pack, si tu le juges bon)

[Seirios]

On pose pour tout entier naturel :

Soit un nombre premier strictement supérieur à 3, montrer que divise

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Par le petit théorème de Fermat : , d'où par produit : en factorisant par 6. Or p est premier avec 6, donc par le théorème de Gauss, , Q.E.D.

[invite9a322bed]

Très bien

[invite2220c077]

A la base c'est un exercice tiré de l'OIM 2005. On devait déterminer tous les entiers p tels que p soit premier avec tous les termes de la suite a_n.

[invite9a322bed]

Enfaite eux ils ont posé comme dérnière question : Montrer que pour tout entier naturel premier q il existe un entier naturel non nul n tel que pgcd(a_n , p)=p.

Je ne voulais pas mettre cette question directement, sinon, ca ne va pas être évident de trouver la réponse

[invitef1b93a42]

Je résouds en ce moment des exercices donnés aux Sénégalais et aux Roumains, qu'ils doivent faire en 4h afin d'espérer rentrer en MPSI au lycée parisien Louis-Le-Grand.

Je bloque sur cette question, aucune autre question n'est posée dans cet exercice :
Calculer sous forme de radicaux .

Voici un autre exercice qui me pose problème : Soit la surface définie par son équation (dans l'espace) .
Montrer que le plan est inclus dans et montrer que est la réunion de et d'une droite que l'on déterminera.
Bon courage

[invitec317278e]

Voilà comment je ferais, pour ta première question :

-on remarque que ce qui devrait permettre de calculer le cosinus du double de l'angle que l'on cherche.

-on utilise

[invite2220c077]

Equinoxxx : Pour (P), remarque que

[invitec317278e]

pour la deuxième :

l'identité peut servir.

je te laisse réfléchir.

[bubulle_01]

Salut,

Pour le calcul du cosinus, en connaissant , il suffit de trouver , et finalement en utilisant le développement de et en sachant que tous ces cosinus sont positifs.

Pour l'autre exo :
implique
soit en élevant au cube :

soit
soit
soit
Et donc soit (P) est inclus dans (S).