[TS+] Entraînement au Concours Général

[invitec317278e]

N'hésite pas à redemander de l'aide si tu veux la solution de la deuxième partie du deuxième exo.
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[invite2220c077]

Pour l'exercice 1 :



avec n - 1 "2" sous le radical

Comme

et (tu connais aussi le sinus avec cos ² + sin ² = 1), alors tu en déduis l'expression exacte.

[invite9a322bed]

Equinoxx tu trouves où ces exercices ?

[invite2220c077]

Ils circulent un peu partout sur le Net. Y'a un échantillon sur le forum de Fermat.

[invite2220c077]

Bon, en fait je m'étais trompé, c'était pas sur ce forum, je l'avais vu sur le forum de LLG je crois, mais impossible de le retrouver.

Le test en question c'était pour l'entrée en MPSI des chinois : http://www.scribd.com/doc/3818461/MPSI-TEST-CHINE-1

[invite2220c077]

Un autre :

http://www.scribd.com/doc/3818474/MPSI-TEST-CHINE-2

[invitef1b93a42]

Pour la valeur de

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Calculons :
On a d'où, d'après les formules de duplication, . Or, on a Ainsi, . Donc, . Ouf ! .

[invitef1b93a42]

Désolé mais on dirait que Latex n'aime pas trop les enchaînements de racines :P

[bubulle_01]

Bon, en fait je m'étais trompé, c'était pas sur ce forum, je l'avais vu sur le forum de LLG je crois, mais impossible de le retrouver.

Le test en question c'était pour l'entrée en MPSI des chinois : http://www.scribd.com/doc/3818461/MPSI-TEST-CHINE-1

Il manque pas un cube ou un carré dans le 1) ? Sinon c'est évident.

Je me suis penché uniquement sur le 5) :

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On va établir déjà que f est croissante :
Soit
Alors soit
D'où est croissante.
De plus avec entier (en utilisant x=y n fois dans l'inégalité)
Supposons tel que .
Il existe tel que Et donc soit
De plus, .
Contradiction, donc

[invite9a322bed]

Un autre :

http://www.scribd.com/doc/3818474/MPSI-TEST-CHINE-2

Merci Zweig ! Je viens de les lire, ce sont des exercices assez fréquents, type olympiades, je ne vois pas en quoi ça peut être un critère de sélection pour LLG, vraiment pas dans l'esprit de prépas à mon avis ^^

[invite2220c077]

Oui bubulle, c'est évident en effet, mais c'est évident car on a supposé la suite positive, dans le cas où la suite est définie sur R, c'est déjà moins facile ...

[invite2220c077]

Merci Zweig ! Je viens de les lire, ce sont des exercices assez fréquents, type olympiades, je ne vois pas en quoi ça peut être un critère de sélection pour LLG, vraiment pas dans l'esprit de prépas à mon avis ^^

Bah, disons que les exercices d'olympiades sont assez représentatifs des exercices difficiles ... Ca permet de voir dans le candidat pas mal de qualités requises pour les maths (ingéniosité, capacité à produire un raisonnement, souvent long et astucieux, mené seul de A à Z etc ...), donc j'vois pas en quoi c'est contraire à l'esprit prépa, au vu des exercices difficiles qu'ils auront à résoudre durant leurs 2 ans.

[bubulle_01]

Oui bubulle, c'est évident en effet, mais c'est évident car on a supposé la suite positive, dans le cas où la suite est définie sur R, c'est déjà moins facile ...

Je disais que c'était évident dans le cas où il n'y a pas de puissance (si tu regardes bien, les parenthèses ne servent à rien).
Je n'ai pas encore traité le cas (qui est sûrement le cas qu'ils veulent qu'on traite) où la seconde somme est à une certaine puissance (pour la beauté de la chose je sens le cube).

Pour ce qui est du 4, je l'ai trouvé mignon ^^ :

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On note .
De même, on note l'expression à minorer.
On a
Or
Ainsi soit

[invite2220c077]

J'avais pas fait gaffe ... En fait je pense qu'il manque un ² dans le membre de droite, effectivement

[invitef1b93a42]

Pour l'olympiade d'Autriche 2002 (je l'avais fais il y a plus de 6 mois et j'avais pas remarqué qu'il était dans ton PDF ) :

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un entier impair. Supposons qu'il existe un rationnel vérifiant avec la fonction partie entière. En passant à la valuation 2-adique, on a . Or, donc, l'équation avec entier impair n'admet pas de solutions dans .

[invitef1b93a42]

Olympiades de Russie 1981 (3.6), je me demande si ce que je fais est la seule solution car si oui, elle est pratiquement infaisable sans connaître l'astuce de la mort :

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Supposons un tel quadruplet solution du système, on a alors et . On pose et . On remarque que et donc . Or, d'où . Or, et ou et . Les quadruplets solutions du système sont donc et .

Je serai curieux de connaître ta solution Zweig.

[Seirios]

Olympiades de Russie 1981 (3.6), je me demande si ce que je fais est la seule solution car si oui, elle est pratiquement infaisable sans connaître l'astuce de la mort :

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Supposons un tel quadruplet solution du système, on a alors et . On pose et . On remarque que et donc . Or, d'où . Or, et ou et . Les quadruplets solutions du système sont donc et .

Je serai curieux de connaître ta solution Zweig.

Il faut également remarquer que la réciproque introduit des restrictions sur le signe des éléments de tes quadruplets.

Juste une question en passant : la notation pour l'ensemble des nombres premiers est-elle utilisée de manière générale ?

[invite9a322bed]

Il faut également remarquer que la réciproque introduit des restrictions sur le signe des éléments de tes quadruplets.

Juste une question en passant : la notation pour l'ensemble des nombres premiers est-elle utilisée de manière générale ?

Il me semble que oui, mais toutefois, avant de l'utiliser il faut préciser que P = Ensemble des entiers premiers, le correcteur peut ne pas comprendre. Idem pour (ensemble des nombres complexes de module 1.

[invite2220c077]

Pour l'olympiade d'Autriche 2002 (je l'avais fais il y a plus de 6 mois et j'avais pas remarqué qu'il était dans ton PDF ) :

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un entier impair. Supposons qu'il existe un rationnel vérifiant avec la fonction partie entière. En passant à la valuation 2-adique, on a . Or, donc, l'équation avec entier impair n'admet pas de solutions dans .

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Tu étais bien parti au début, sauf que la conclusion est fausse. si et seulement si est un entier. Or ici est un rationnel.

[invite2220c077]

Olympiades de Russie 1981 (3.6), je me demande si ce que je fais est la seule solution car si oui, elle est pratiquement infaisable sans connaître l'astuce de la mort :

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Supposons un tel quadruplet solution du système, on a alors et . On pose et . On remarque que et donc . Or, d'où . Or, et ou et . Les quadruplets solutions du système sont donc et .

Je serai curieux de connaître ta solution Zweig.

J'ai fait exactement pareil. L'astuce n'est pas si "parachutée" que ça (cf : MP pour Phy2 ) :

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Je somme les deux égalités :


Cette dernière est de la forme



On voit qu'en prenant on obtient du , mais alors il faut multiplier la deuxième relation (de départ) par pour que le développement soit correct. On est donc amené à résoudre :



Soit par passage aux modules

[invitef1b93a42]

On doit avoir, car , ou . mais on a, d'après l'énoncé, donc, , on a forcément . Dans ce cas, d'où car mais ce qui est contradictoire. Donc, l'équation avec et n'admet pas de solutions.

[invite2220c077]

Ouep !

[invite2220c077]

D'autres exercices autour de la suite de Fibonacci que j'ai postés sur le forum du Supérieur et que je mettrai dans le PDF plus tard :

D'autres résultats autour de Fibonacci :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) si divise ( et des entiers naturels non nuls), alors divise

10)

----------------------------------------

a) Soient et des entiers tels que et vérifiant :



Déterminer le maximum de

b) Soit la suite définie par : , , , et :

Montrer que pour tout , est un multiple de .

c) Montrer que pour tout , n'est pas un nombre premier.

[Seirios]

[TEX]F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^n- \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right)

Voici ma solution, je ne sais pas s'il y a plus simple et plus rapide :

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Définissons la suite par : .

On vérifie que , puis on suppose . On déduit de cette hypothèse que , expression que l'on injecte dans . On trouve alors

Par récurrence, est donc géométrique de raison . Pour tout n entier naturel non nul, on a ainsi , d'où la conclusion.

[bubulle_01]

Olympiades de Russie 1981 (3.6), je me demande si ce que je fais est la seule solution car si oui, elle est pratiquement infaisable sans connaître l'astuce de la mort :

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Supposons un tel quadruplet solution du système, on a alors et . On pose et . On remarque que et donc . Or, d'où . Or, et ou et . Les quadruplets solutions du système sont donc et .

Je serai curieux de connaître ta solution Zweig.

Pour une autre solution :
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2344075

[invite55dcb7a8]

Alors y a t-il par hasard quelqu'un de classé au concours général de maths?

[invitef1b93a42]

Je remonte le post mais bon... Un petit indice Zweig pour le système à 5 équations 1.3 des OIM 1972 ? Je pensais utiliser les fonctions élémentaires symétriques moyennes avec l'inégalité de Newton et Mac-Laurin mais je ne vois pas... ( .)

[invitec317278e]

si jme trompe pas, en ajoutant toutes les inégalités, en développant tout, puis en remuant, on peut tomber sur quelque chose de très intéressant. Mais la flemme de calculer.

[invite2220c077]

Oui voilà !

[bubulle_01]

Un petit exercice, je sais pas vraiment ce qu'il vaut, j'ai peut-être compliqué la tâche, mais quoi qu'il arrive je l'ai trouvé plutôt facile :
Soient a,b et n trois naturels tels que tels que .
Montrer que