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Suite de Fibonacci




  1. #1
    pichoun

    Suite de Fibonacci

    Pour décoller un peu des exos d'annales barbants en préparation du bac, je m'atteles en ce moment à des petites recherches sur le nombre d'or. J'essai en ce moment de démontrer que le rapport de deux termes de la suite de Fibonacci converge vers le nombre d'or.

    Je m'y suis pris de la manière suivante:

    Poser Wn=Un+1/Un

    Dmq que 0<Wn<2

    Dmq Wn est croissante

    Dmq ainsi que Wn converge, chercher sa limite et tomber royalemen sur phi....


    Suis sur la bonne voie?

    -----


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  3. #2
    CM63

    Re : Suite de Fibonacci

    Bonsoir,
    Moi, je l'avais démontré en cherchant l'expression de Un, tout simplement. Tu sais comment faire?

  4. #3
    pichoun

    Re : Suite de Fibonacci

    j'ai vu une demo comme ca sur internet mais j'ai pas compris, je suis qu'en terminale. je voulais essayer de le faire comme ca mais est ce que ca marche.

    Et Wn semble décroissante je m'escuse


  5. #4
    CM63

    Re : Suite de Fibonacci

    Non, Wn tend vers l'infini, puisqu'elle est équivalente à Un et que Un tend vers l'infini. Mais je ne vois pas l'intérêt de passer par Wn .

    Le carton !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! le 1000ième message !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

  6. #5
    pichoun

    Re : Suite de Fibonacci

    Wn ne représente pas le rapport de deux termes consécutifs de la suite de fibonacci???

    Sinon peux tu m'expliquer comment trouver le terme général de Un sans me le faire???

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    pichoun

    Re : Suite de Fibonacci

    ahh je pense avoir pigé......

  9. #7
    -Zweig-

    Re : Suite de Fibonacci

    Bah montre par récurrence que :



    Après pour trouver cette formule sans passer par la récurrence, ça fait appel à des notions hors-programme par rapport à la T°S (équation caractéristique etc ...).

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  11. #8
    CM63

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par pichoun Voir le message
    Wn ne représente pas le rapport de deux termes consécutifs de la suite de fibonacci???
    AH ok, oui peut-être, je n'avais pas compris, je regarde.
    Citation Envoyé par pichoun Voir le message
    Sinon peux tu m'expliquer comment trouver le terme général de Un sans me le faire???
    Tu cherche une solution du terme Un de la suite de Fibonacci de la forme :
    Un=rn , où r est réel
    Tu t'apperçois qu'il y a 2 solutions : r1=Phi et r2=-1/Phi
    En fait toute solution de la forme Un=A U1n + B U2n , où U1n=r1n et U2n=r2n, vérifie la relation de récurrence de Fibonacci.
    Pour trouver A et B, il suffit d'écrire la condition initale : U0=1
    Ensuite, on demontre facilement que le rapport Un+1/Un tend vers Phi.

  12. #9
    -Zweig-

    Re : Suite de Fibonacci

    Une autre manière de faire.

    On pose
    On remarque que

    On en déduit alors, en isolant :
    Or avec et

    D'un autre côté,



    D'où par identification,
    Dernière modification par -Zweig- ; 08/06/2009 à 22h20.

  13. #10
    -Zweig-

    Re : Suite de Fibonacci

    Dans mon tout premier message, c'est un "-" entre les deux parenthèses.

  14. #11
    ericcc

    Re : Suite de Fibonacci

    Si on veut rester au niveau terminale, la méthode de Zweig me semble délicate, et il n'est pas nécessaire de passer par la formule qui donne l'expression exacte de Un:

    On sait que Un+2=Un+1+Un
    On peut diviser tout par Un+1 qui n'est jamais nul.

    En posant Wn=Un+1/Un, il vient

    (1) Wn+1=1+1/Wn

    Tu as montré que cette suite est croissante et bornée, donc elle converge.

    Pour trouver la limite, il suffit de remplacer Wn par l dans l'équation (1)

  15. #12
    -Zweig-

    Re : Suite de Fibonacci

    Plus généralement :



    pour tout

  16. #13
    -Zweig-

    Re : Suite de Fibonacci

    D'autres résultats autour de Fibonacci :

    1)

    2)

    3)

    4)

    5)

    6)

    7)

    8)

    9) si divise ( et des entiers naturels non nuls), alors divise

    10)

    ----------------------------------------

    a) Soient et des entiers tels que et vérifiant :



    Déterminer le maximum de

    b) Soit la suite définie par : , , , et :

    Montrer que pour tout , est un multiple de .

    c) Montrer que pour tout , n'est pas un nombre premier.

    Tu as de quoi faire .

  17. #14
    CM63

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Plus généralement :



    pour tout
    En effet, je n'y avais pas pensé.

  18. #15
    CM63

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Si on veut rester au niveau terminale, la méthode de Zweig me semble délicate, et il n'est pas nécessaire de passer par la formule qui donne l'expression exacte de Un:

    On sait que Un+2=Un+1+Un
    On peut diviser tout par Un+1 qui n'est jamais nul.

    En posant Wn=Un+1/Un, il vient

    (1) Wn+1=1+1/Wn

    Tu as montré que cette suite est croissante et bornée, donc elle converge.

    Pour trouver la limite, il suffit de remplacer Wn par l dans l'équation (1)
    Bien vu, ta démonstration est "économique", pas besoin d'aller taper un niveau très élevé en math.

  19. #16
    CM63

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Plus généralement :



    pour tout
    Plutôt :


    Je n'arrive pas à ne mettre que le en rouge

  20. #17
    pichoun

    Re : Suite de Fibonacci

    CM63 excellente ta demo.
    Merci a tous.

  21. #18
    acx01b

    Re : Suite de Fibonacci

    bonsoir juste une petite remarque,

    pour montrer que Wn est croissante on peut montrer par récurrence qu'elle est inférieur au nombre d'or
    ou bien mais c'est moins amusant se servir de la définition de la suite de fibonacci

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