Pour décoller un peu des exos d'annales barbants en préparation du bac, je m'atteles en ce moment à des petites recherches sur le nombre d'or. J'essai en ce moment de démontrer que le rapport de deux termes de la suite de Fibonacci converge vers le nombre d'or.
Je m'y suis pris de la manière suivante:
Poser Wn=Un+1/Un
Dmq que 0<Wn<2
Dmq Wn est croissante
Dmq ainsi que Wn converge, chercher sa limite et tomber royalemen sur phi....
Suis sur la bonne voie?
Bonsoir,
Moi, je l'avais démontré en cherchant l'expression de Un, tout simplement. Tu sais comment faire?
Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!
j'ai vu une demo comme ca sur internet mais j'ai pas compris, je suis qu'en terminale. je voulais essayer de le faire comme ca mais est ce que ca marche.
Et Wn semble décroissante je m'escuse
Non, Wn tend vers l'infini, puisqu'elle est équivalente à Un et que Un tend vers l'infini. Mais je ne vois pas l'intérêt de passer par Wn.
Le carton !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! le 1000ième message !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!
Wn ne représente pas le rapport de deux termes consécutifs de la suite de fibonacci???
Sinon peux tu m'expliquer comment trouver le terme général de Un sans me le faire???
ahh je pense avoir pigé......
Bah montre par récurrence que :
Après pour trouver cette formule sans passer par la récurrence, ça fait appel à des notions hors-programme par rapport à la T°S (équation caractéristique etc ...).
AH ok, oui peut-être, je n'avais pas compris, je regarde.Envoyé par pichoun
Tu cherche une solution du terme Un de la suite de Fibonacci de la forme :
Un=rn , où r est réel
Tu t'apperçois qu'il y a 2 solutions : r1=Phi et r2=-1/Phi
En fait toute solution de la forme Un=A U1n + B U2n , où U1n=r1n et U2n=r2n, vérifie la relation de récurrence de Fibonacci.
Pour trouver A et B, il suffit d'écrire la condition initale : U0=1
Ensuite, on demontre facilement que le rapport Un+1/Un tend vers Phi.
Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!
Une autre manière de faire.
On pose
On remarque que
On en déduit alors, en isolant:
Or
D'un autre côté,
D'où par identification,
Dans mon tout premier message, c'est un "-" entre les deux parenthèses.
Si on veut rester au niveau terminale, la méthode de Zweig me semble délicate, et il n'est pas nécessaire de passer par la formule qui donne l'expression exacte de Un:
On sait que Un+2=Un+1+Un
On peut diviser tout par Un+1 qui n'est jamais nul.
En posant Wn=Un+1/Un, il vient
(1) Wn+1=1+1/Wn
Tu as montré que cette suite est croissante et bornée, donc elle converge.
Pour trouver la limite, il suffit de remplacer Wn par l dans l'équation (1)
Plus généralement :
pour tout
D'autres résultats autour de Fibonacci :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9) si
10)
----------------------------------------
a) Soient
Déterminer le maximum de
b) Soit la suite
Montrer que pour tout
c) Montrer que pour tout
Tu as de quoi faire.
En effet, je n'y avais pas pensé.Plus généralement :
pour tout
Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!
Bien vu, ta démonstration est "économique", pas besoin d'aller taper un niveau très élevé en math.
Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!
Plutôt :Plus généralement :
pour tout
Je n'arrive pas à ne mettre que le
Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!
CM63 excellente ta demo.
Merci a tous.
bonsoir juste une petite remarque,
pour montrer que Wn est croissante on peut montrer par récurrence qu'elle est inférieur au nombre d'or
ou bien mais c'est moins amusant se servir de la définition de la suite de fibonacci
