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Ensemble de nombres complexes.



  1. #1
    Equinoxx

    Ensemble de nombres complexes.


    ------

    Bonjour à tous,
    Je souhaiterai avoir confirmation de mon résultat pour l'exercice suivant, que j'ai abordé avec des notions de Terminale :
    Soit l'ensemble définit par avec , c'est-à-dire l'ensemble . J'ai montré que est stable par multiplication et par conjugaison. Il faut ensuite trouver tous les éléments de inversibles dans .
    Si est inversible dans , alors et j'ai montré qu'alors, on doit avoir c'est-à-dire . C'est là que je vous demande une vérification : j'ai trouvé comme solutions à cette équation dans les couples , sont-ils les seuls ?

    Merci d'avance pour vos réponses.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    -Zweig-

    Re : Ensemble de nombres complexes.

    Manifestement, oui.

    D'après l'inégalité arithmético-géométrique :



    Tous les couples cités sont donc solutions et ce sont les seuls d'après cette inégalité.
    Dernière modification par -Zweig- ; 27/06/2009 à 13h08.

  4. #3
    -Zweig-

    Re : Ensemble de nombres complexes.

    Enfin, pour être plus rigoureux, comme est aussi solution, on se limite au cas où et sont des naturels, car sinon l'inégalité serait fausse (ou du moins faudrait rajouter des valeurs absolues).

  5. #4
    Seirios

    Re : Ensemble de nombres complexes.

    Bonjour,

    J'ai raisonné différent : . On en déduit que soit , soit ; en étudiant les différents cas, on obtient les couples solutions.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #5
    Seirios

    Re : Ensemble de nombres complexes.

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    D'après l'inégalité arithmético-géométrique :

    Comment passes-tu de la première inégalité à la deuxième ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Seirios

    Re : Ensemble de nombres complexes.

    On aurait également pu raisonner comme ceci : (résultat que l'on peut obtenir, il est vrai, directement par l'inégalité arithmético-géométrique), d'où et à partir de , on trouve facilement les solutions.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  10. #7
    Equinoxx

    Re : Ensemble de nombres complexes.

    Merci Zweig et Phys2 pour vos confirmations.

  11. #8
    -Zweig-

    Re : Ensemble de nombres complexes.

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    On aurait également pu raisonner comme ceci : (résultat que l'on peut obtenir, il est vrai, directement par l'inégalité arithmético-géométrique), d'où et à partir de , on trouve facilement les solutions.
    Bah c'est ce que j'ai fait :

  12. #9
    Seirios

    Re : Ensemble de nombres complexes.

    En fait je n'avais pas remarqué que tu utilisais le fait que ...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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