Ensemble de nombres complexes.

[invitef1b93a42]

Bonjour à tous,
Je souhaiterai avoir confirmation de mon résultat pour l'exercice suivant, que j'ai abordé avec des notions de Terminale :
Soit l'ensemble définit par avec , c'est-à-dire l'ensemble . J'ai montré que est stable par multiplication et par conjugaison. Il faut ensuite trouver tous les éléments de inversibles dans .
Si est inversible dans , alors et j'ai montré qu'alors, on doit avoir c'est-à-dire . C'est là que je vous demande une vérification : j'ai trouvé comme solutions à cette équation dans les couples , sont-ils les seuls ?

Merci d'avance pour vos réponses.
-----

[invite2220c077]

Manifestement, oui.

D'après l'inégalité arithmético-géométrique :



Tous les couples cités sont donc solutions et ce sont les seuls d'après cette inégalité.

[invite2220c077]

Enfin, pour être plus rigoureux, comme est aussi solution, on se limite au cas où et sont des naturels, car sinon l'inégalité serait fausse (ou du moins faudrait rajouter des valeurs absolues).

[Seirios]

Bonjour,

J'ai raisonné différent : . On en déduit que soit , soit ; en étudiant les différents cas, on obtient les couples solutions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

D'après l'inégalité arithmético-géométrique :

Comment passes-tu de la première inégalité à la deuxième ?

[Seirios]

On aurait également pu raisonner comme ceci : (résultat que l'on peut obtenir, il est vrai, directement par l'inégalité arithmético-géométrique), d'où et à partir de , on trouve facilement les solutions.

[invitef1b93a42]

Merci Zweig et Phys2 pour vos confirmations.

[invite2220c077]

On aurait également pu raisonner comme ceci : (résultat que l'on peut obtenir, il est vrai, directement par l'inégalité arithmético-géométrique), d'où et à partir de , on trouve facilement les solutions.

Bah c'est ce que j'ai fait :

[Seirios]

En fait je n'avais pas remarqué que tu utilisais le fait que ...