Bonjour,
Je fais face à un étrange calcul :
Soit X et Y deux variables aléatoires, soit N > 0 , Z = (X_1 + X_2 + ... + X_N ) / N
je cherche à exprimer cor(Z,Y) en fonction de cor(X,Y)
après un calcul "rapide" je trouve : cor(Z,Y) = sqrt(N)*cor(X,Y) !!
Ce qui est surprenant puisque l'on pourrait avoir cor(Z,Y) > 1 !!
Où est l'erreur ?
Merci pour votre aide.
tu dis que tu as 2 v.a. X et Y mais tu écris X_1,..,X_N, quel est le lien entre X et les X_i ?
Ah oui pardon, les X_i sont des variables iid issues de la même loi que X.
la covariance est un opérateur bilinéaire, donc cov(X1+..+Xn,Y)=cov(X1,Y)+..+c ov(Xn,Y)=n cov(X1,Y). si les Xi sont indépendants, la variance de leur somme et la somme de leurs variance donc Var(X1+..+Xn)=n Var(X1).
Jusque là je suis d'accords et si tu poursuis le calcul tu tombes bien sur notre résultat paradoxal !
ah oui pardon, j'ai fait une erreur : le fait que les Xi soient i.i.d. n'implique pas que les cov(Y,Xi) soient égales (on ne dit rien sur la loi conjointe de Y et des Xi). Donc on ne peut pas aller plus loin que cov(Y,X1+...+Xn)=cov(Y,X1)+... +cov(Y,Xn)
Ok et maintenant si on suppose que les les lois jointe des (X_i, Y) sont identiques, est-ce que la condition d'indépendance des X_i reste possible ?
Si oui on peut alors poursuivre le calcul, sinon j'aimerai bien avoir une idée de la démonstration....
une façon de voir les choses est de considérer que les Xi et Y sont des vecteurs de L^2 (avec l'omega et le A qui vont bien). Dire que les Xi sont indépendants c'est dire qu'ils sont orthogonaux deux à deux. Si la loi conjointe de Y et de Xi ne dépend pas de i, ça entraîne une contrainte forte sur la corrélation entre Y et Xi. Géométriquement ça revient à dire que le vecteur Y (son extrémité) est équidistant des vecteurs Xi. Ou en d'autres termes, les Xi sont comme les arêtes d'un hypercube et la projection de Y sur l'espace engendré par les Xi en est la diagonale. Si Y~ est cette projection, on a cor(Y~,Xi)=1/sqrt(n), et donc cor(Y,Xi)<= 1/sqrt(n). C'est pourquoi il n'y a pas de paradoxe.
Tu penses qu'il y a un paradoxe parce que tu penses que tu peux augmenter n en gardant Y constant mais tu ne peux pas.
