Endomorphisme et somme directe

[invite705d0470]

Bonsoir
Pourriez vous m'expliquer comment montrer le résultat suivant: si E est un K-ev et f un endomorphisme de E tels que , alors ?
Par la suite, il m'est demandé de montrer qu'on a aussi .

J'ai vraiment envie de comprendre la méthode, les arguments, parce que c'est un exercice assez classique ...

Mais pour vous montrer que j'ai cherché, voilà ce que j'ai déjà fait:
- on écrit que pour faire apparaitre ce que l'on cherche.
- on peut alors remarquer deux propriétés: et aussi (les polynômes d'endomorphismes commutent) .

Mais en raisonnant par analyse synthèse, je trouve (ce n'était pas ce que je cherchais, mais bon) que en écrivant .

N'est-ce pas contradictoire ?
Et puis comment raisonner pour montrer une somme directe d'images ? ... J'ai plus de mal car c'est l'existence qui est en jeu.
Par contre si je montre d'abord la somme des images, l'existence pour la question 1 sera donnée, et il ne me restera plus qu'à vérifier que .

J'espère que vous pourrez m'aider,

Snowey
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[invitea0db811c]

Bonsoir,

E est-il de dimension finie ? Si oui avec le théorème du rang, il suffit de montrer que l'intersection est nulle. Et avec ce que tu as montré, on a que si un élément de E est de la forme f(x)-x, alors il est dans le noyau de f²+f+Id, et donc il ne peut pas être dans le noyaux de f-Id car la somme que tu as trouvé est directe. Donc l'intersection de Ker(f-Id) et Im(f-Id) est nulle. Si ce n'est pas de dimension finie, il faut prouver que la somme donne tout l'espace aussi.

[invitea0db811c]

Ah euh, pourquoi avoir mit sur 3 ? En mettant simplement sur 2 on a :

x = (1/2)( f²(x) + f(x) + x) + (1/2) ( f(f(x)-x) -(f(x)-x) ) ce qui donne tout de suite que la somme engendre l'espace.

[invite705d0470]

Merci Beaucoup de m'aider
Non E n'est qu'un espace vectoriel quelconque, donc impossibilité d'utiliser la dimension.
Ok, donc la somme directe que j'ai trouvée pourra me servir pour étudier l'intersection, mais reste le point le plus dur: l'existence (donc être somme d'un élément de l'image et du noyau). :/
Quant à la seconde question ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

En fait, cette écriture est venue naturellement en composant par f (mais bon, ce n'est pas ce que je cherche comme somme directe, même si c'est un début !).
Par contre je ne comprends pas ton écriture de x: , non ?

[invitea0db811c]

Euh effectivement, j'ai caffouillé sur ce coup là.

En toute simplicité : x = x + f(x) + f²(x) - f ( f(x) - x ). Ce qui donne bien ce qu'on veut !

[invite705d0470]

Et pas alors que Ker(f-Id)+Im(f-Id)=E.
La somme directe est donnée par les remarques précédentes (intersection vide) !
Oki ^^ bah je pensais ne pas parvenir à trouver une relation immédiate, alors que toi, en 3 secondes, tu l'as...
Y'a ps a dire, je suis vraiment idiot :/

Merci beaucoup

Et une idée pour la somme des images ?

[invite705d0470]

Oui, en fait on a, ce qui donne , n'est ce pas ?

[invitea0db811c]

Hmmm non, il y'a un problème avec le dernier f(x) qui ne disparait pas.

En fait ce que suggère l'exercice là, c'est qu'on doit avoir quelque chose du genre : Ker(f-Id) = Im(f²+f+Id). En effet on a déjà l'inclusion de la droite vers la gauche.
Reste donc l'autre, et là : prenons x dans Ker(f-Id), alors f(x) = x.

Donc si je prend a=1/3, on a que f²(ax) + f(ax) + ax = af²(x) + af(x) + ax = (a+a+a)x = x. Donc x est dans l'image de f² + f + Id. On a donc bien l'égalité recherchée, donc la somme est direct toussa toussa...

[invite705d0470]

Hm. Oui !
En plus j'ai remarqué par la suite un resultat semblable. J'ai plutôt écrit, plus simplement que si x est dans Ker(f^2+f+Id) alors x=-(f(f(x))-f(x)) donc x est dans Im(f-Id), ce qui donne une autre égalité, et aussi la première somme directe recherchée

Merci beaucoup d'avoir supporté les idioties !
Une dernière question: quelle attitude faut il adopter devant un exercice de ce type ? Tâtonner pour obtenir une première somme et travailler avec celle-ci ou essayer de montrer directement le résultat par analyse synthèse (ce que l'on n'a pas fait ici) ?
Merci beaucoup en tout cas.