Somme directe

[invite59250f02]

Bonjour,
je voudrais avoir juste une petite aide :

Soit X un espace normé et H son complété tel qu'il soit un Hilbert..
soit A un fermé de X et de H .

donc un j'ai un premier résultat:

ensuite on note:
alors on a ????
c'est la que je bloque , pourquoi est ce que j'aurai cette somme, et est ce que B est l'orthogonal de A dans X ???

Merci beaucoup pour votre aide..
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[Seirios]

Bonjour,

Soit X un espace normé et H son complété tel qu'il soit un Hilbert..
soit A un fermé de X et de H .

donc un j'ai un premier résultat:

ensuite on note:
alors on a ????

Il suffit d'avancer pas à pas. Premièrement, on a . Ensuite, tout élément de appartient à donc s'écrit sous la forme avec . Or , donc . Tu as donc bien .

c'est la que je bloque , pourquoi est ce que j'aurai cette somme, et est ce que B est l'orthogonal de A dans X ???

Dire que B est l'orthogonal de A dans X ne veut rien dire, X n'est a priori pas muni d'un produit scalaire.

[inviteea028771]

Dire que B est l'orthogonal de A dans X ne veut rien dire, X n'est a priori pas muni d'un produit scalaire.

A mon avis, son espace X est préhilbertien.

Si c'est le cas, ça a donc un sens, et tu as bien . En effet :

1) car
2) car (donc tout les vecteurs orthogonaux à A sont dans B)

[Seirios]

A mon avis, son espace X est préhilbertien.

De toute manière, si H est un espace de Hilbert, le produit scalaire restreint à X va donner la même norme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite59250f02]

Merci beaucoup pour votre aide..

oui je crois aussi que c'est un pré-hilbertien donc on peut parler d'orthogonal, qui est l'ensemble B..Merci de m'avoir confirmer tout ça..

Bonne soirée..