Bonjour à tous,

Comme les mathématiques ne sont pas qu'une série de résultats et de preuves, les approches et intuitions y étant également importantes, je me suis dit qu'il pourrait être intéressant d'ouvrir une discussion où chacun pourrait parler d'un résultat qui l'a marqué et expliqué pourquoi.

Je commence donc :

Résultat : Considérons le groupe libre sur . Soit H le sous groupe engendré par . Alors H est libre sur son système de générateurs.

Je trouve que ce résultat nous apprend beaucoup de choses :

(i) Tout groupe libre non abélien s'injecte dans ,
(ii) Il n'y a pas d'équivalent du théorème de Cantor-Bernstein pour la théorie des groupes ( (n>2) s'injecte dans et réciproquement, mais ces deux groupes ne sont pas isomorphes),
(iii) Deux groupes libres non abéliens ont la même théorie universelle et existentielle du premier ordre,
(iv) Un sous-groupe d'un groupe libre est libre mais peut être de rang supérieur à celui du groupe dans lequel il est inclu (ce qui n'est pas le cas en commutatif),
(v) Un sous-groupe d'un groupe de type fini n'est pas nécessairement de type fini.
(vi) Un sous-groupe d'un groupe de présentation finie n'est pas nécessairement de présentation finie (ni même de type fini).