Démonstrations à base d'éléments différentiels en physique de prépas

[invite8a6ffc6e]

Bonjour à tous, je suis actuellement en école d'ingé à prépa intégrée. J'ai rencontré et je rencontre toujours un certains nombre de profs de physique qui, pour établir leurs formules, nous font des démonstrations à base d'éléments différentiels (les dtrucs). Si il limitaient ça aux démonstrations ça ne poserait pas trop de problèmes. Le souci c'est qu'ils nous demandent le même genre de démonstrations dans les exercices qu'ils nous donnent. Et je vous avouerais que malgré ma prépa terminée je ne suis pas du tout à l'aise avec ça. Si on me demandait le même genre de choses maintenant je saurais pas quoi faire...La manière dont on utilise les éléments différentiels m'échappe...

Est-ce qu'il y a une théorie mathématiques solide derrière l'utilisation de ces trucs ou bien alors c'est ce que je pense : un raccourci mathématiques plus ou moins rigoureux que les physiciens utilisent pour démontrer leurs trucs ? Si oui y a-t-il moyen d'adopter une pédagogie plus rigoureuse ?
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[Amanuensis]

Est-ce qu'il y a une théorie mathématiques solide derrière l'utilisation de ces trucs

En général, oui : la géométrie différentielle.

Si oui y a-t-il moyen d'adopter une pédagogie plus rigoureuse ?

Oui, mais ce n'est pas nécessairement une bonne idée.

[invite63e767fa]

Est-ce qu'il y a une théorie mathématiques solide derrière l'utilisation de ces trucs ou bien alors c'est ce que je pense : un raccourci mathématiques plus ou moins rigoureux que les physiciens utilisent pour démontrer leurs trucs ? Si oui y a-t-il moyen d'adopter une pédagogie plus rigoureuse ?

Il y a bien l'ANS (Analyse non standard) qui donne une base solide.
Quelques références de papiers relativement abordables sont indiquées à la fin de l'article de vulgarisation "Une querelle des Anciens et des Modernes", par le lien : http://www.scribd.com/JJacquelin/documents
Néanmoins, en pratique, il n'y a pas besoin de tout cet arsenal théorique pour suivre la démarche des Physiciens, qui est très pragmatique, efficace et qui ne s'embarasse pas de subtilités. Il suffit d'en revenir aux mathématiques des siècles passés et à la façon dont elles étaient enseignées. Les plus grands mathématiciens et Physiciens de ces temps là n'avaient que ces mathématiques qui, maintenant, peuvent paraître désuettes et peu rigoureuses (à tord, car elles ont été justifiées à postériori, ce qui n'a pas été une mince affaire ! ).

[invite63e767fa]

A la relecture, mon message précédent pourrait faire croire que je préconise de revenir deux siècles en arrière !!! Certes non, ce serait bien mal interpréter mes propos !
Je m'adressais seulement à ceux qui se posent ce genre de questions, en les engageant à trouver les réponses dans l'histoire des mathématiques et de leur évolution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Pas besoin de l'analyse non standard pour faire de la géométrie différentielle. En géo diff, dx n'est pas un infinitésimal, mais une forme différentielle.

[inviteea028771]

C'est un peu comme la façon dont les physiciens traitent les distributions comme le delta de Dirac : pour eux c'est une fonction, alors que c'est une hérésie pour les mathématiciens.

Vu que ça a été inventé par les physiciens, les mathématiciens ont du "se débrouiller" pour élaborer une théorie rigoureuse qui s'occupe de ces objets.

Mais, bien que j'aime le formalisme et la rigueur mathématique, ça ne me dérange pas que les physiciens parlent et manipulent le delta de Dirac comme une fonction : ça n'est qu'un outil, un formalisme, pour représenter un concept physique (la ou pour le mathématicien c'est un objet d'étude qui a son intérêt intrinsèque)

[invite63e767fa]

Pas besoin de l'analyse non standard pour faire de la géométrie différentielle. En géo diff, dx n'est pas un infinitésimal, mais une forme différentielle.

Tout à fait d'accord.
D'ailleurs, la géométrie différentielle est bien plus facile à aborder que l'ANS. Mais se limiter à la géométrie différentielle, c'est regarder un aspect partiel de la question. Néanmoins, commencer par la géométrie différentielle est une bonne idée.

[Amanuensis]

Mais se limiter à la géométrie différentielle, c'est regarder un aspect partiel de la question.

J'ai l'impression que cela répondrait pleinement au besoin ressenti tel qu'exprimé dans le message #1. Mais c'est une interprétation dudit message.

[invite76543456789]

Bonjour,

Pas besoin de l'analyse non standard pour faire de la géométrie différentielle. En géo diff, dx n'est pas un infinitésimal, mais une forme différentielle.

Sauf que ca n'est pas du tout comme cela que les physiciens les utilisent, certes dx est une forme diff, et certes en vrai ce qu'on integre ce sont des formes.
Mais cela ne justifie en rien les raisonnement des physiciens du style "prenons un petit element de volume d^3r, alors cette quantité vaut f(r)d^3r sur ce petit volume et on somme sur tous ces volumes infintesimaux, et on obtiens l'intégrale de f(r)d^3r". D'ailleurs on se permet aussi de "diviser" des infiniments petit (ou des formes differentielles) et d'assimiler ceci a des dérivées.
Le géométrie differentiel permet de donner sens aux notations et aux objets utilisés, elle est loin de justifier tous les raisonnements physiques, dans le cas precedent d^3r est vue comme une mesure, et ce qui justifie le premier raisonnement se trouve plutot du coté du theoreme de Radon Nykodim, le second c'est purement de l'analyse non standard.
C'est vrai que c'est dommage que les physiciens continuent a utiliser un formalisme qui a deux siecles de retard, et continuent envers et contre tout a parler d'infintesimaux et d'infiniment petit etc...

[invite76543456789]

Si tu veux une tres bonne justfication de toutes ces "techniques" utilisées en physique d'un point de vue mathématique, je te conseille l'appendice du livre "méthodes mathématiques pour les sciences physiques" de Jean Michel Bony, qui est une petite merveille!

[Amanuensis]

Sauf que ca n'est pas du tout comme cela que les physiciens les utilisent, certes dx est une forme diff, et certes en vrai ce qu'on integre ce sont des formes.
Mais cela ne justifie en rien les raisonnement des physiciens du style "prenons un petit element de volume d^3r, alors cette quantité vaut f(r)d^3r sur ce petit volume et on somme sur tous ces volumes infintesimaux, et on obtiens l'intégrale de f(r)d^3r".

Exact. Cela demande en plus la théorie de la mesure, et le "simple" postulat qu'une n-forme en dimension n fonctionne comme une mesure, et permet de définir des termes comme "volume". J'avais failli l'ajouter.

L'explication en "petit machin" ne m'a jamais satisfait, parce que "volume" ou "aire" et autres machins ne sont pas définis. L'approche par la mesure et les n-formes est plus satisfaisante. (Et, il me semble, bien plus utiles pour "approfondir" la physique.)

PS : À relire le message auquel je réponds, il me semble qu'en fait je répète le même fond en d'autres termes ?

[Amanuensis]

Petit retour en arrière :

Sauf que ca n'est pas du tout comme cela que les physiciens les utilisent

Qu'est-ce qui permet d'affirmer cela ?

Je ne parle pas de comment les physiciens "justifient" comment ils les utilisent, mais quel exemple d'utilisation peut-on proposer qui ne serait pas interprétable correctement en termes de formes ?

C'est comme la prose de M. Jourdain...

[invite63e767fa]

La querelle des Anciens et des Modernes est loin d'être apaisée...

[invite76543456789]

Petit retour en arrière :



Qu'est-ce qui permet d'affirmer cela ?

Je ne parle pas de comment les physiciens "justifient" comment ils les utilisent, mais quel exemple d'utilisation peut-on proposer qui ne serait pas interprétable correctement en termes de formes ?

C'est comme la prose de M. Jourdain...

Y a deux questions dans la question. Quel resultat final ne pourrait on pas interpreter en terme de formes... Honnetement je ne sais pas.
Mais un exemple d'utilisation que je ne vois pas comment justifier en terme de forme, ce serait par exemple le calcul du champ electrique d'un certain volume dans l'espace.

Le raisonnement typique est un petit element de volume contenant une charge dQ, creé en un point M, un champ elementaire dQ/r².u_r.
Mais alors ce dQ/r².u_r, c'est une 1-forme (à coeff dans le fibré trivial)? Mais donc ce n'est pas un champ electrique (qui est juste un element du fibré trivial). L'interpretation mathématique du raisonnement precedent me semble plutot etre, on a une mesure de charge m, sur le volume chargé, pour un petit volume, V, alors le champ electrique crée est m(V)/r².u_r (ici m(V) est un scalaire, celui qui est noté dQ).

Apres dans la pratique on a souvent a faire a une mesure a densité, ce qui fait qu'on peut souvent retomber sur nos pates, via le theoreme de Radon Nykodim (enfin un de ses corrolaires) qui dit que toutes nos notions de dérivées coincident (presque partout), et que donc la dérivée "au sens des mesures" (celle qu'on calcule en physique lors de ce genre de raisonnement, i.e la limite de mu/lambda, ou lambda est la mesure de lebesgue et mu la mesure qui nous interesse, ici de charge) coincide bien avec la dérivée de radon nykodim etc...

Mais il ne me parait pas clair comment justifier un tel raisonnement avec des formes. Mais cela provient peut etre de moi.

Pour faire le lien avec ce que vous dites, oui, une n-forme jamais nulle permet de definir une notion de mesure sur une variété, mais il y a d'autres moyens de definir une mesure (sans pouvoir les relier naturellement avec l'integrale d'une n-forme, notemment sur des espaces irreguliers), et souvent les raisonnements que l'on fait font apparaitre beaucoup plus les elements differentiels (dQ, dM etc...) comme des mesures, que commes des formes differentielles (simplement parce que les dQ, dM etc... ce sont des sclaires, et pas des formes)

[invite76543456789]

Quand je dis dQ serait une 1-forme, il faut dire 3-forme.

[invite06b993d0]

oui il y a beaucoup de raisonnements de physique qu'on peut reformuler à peu de frais en termes de théorie de la mesure par exemple, mais il y a des cas plus rétifs : par exemple en mécanique des fluides, on peut introduire un petit élément de volume cylindrique, de hauteur dh et de surface de base ds, et puis raisonner sur les forces de pression qui s'exercent perpendiculairement sur les trois faces de ce cylindre. Ca c'est déjà plus problématique : pas de cylindre = pas de faces = pas de direction normale...

[Amanuensis]

Merci pour la réponse, cela me fait réfléchir. Au passage, ma question n'était pas une question rhétorique, c'est une question dont je ne connais pas la réponse et je suis très intéressé par des éléments de réponse.

Juste un point :

il y a d'autres moyens de definir une mesure

Oui, bien d'accord. Mais c'est le point de vue mathématique. Est-ce que ces autres moyens sont mis en œuvre en physique ? J'ai l'impression que non. Par exemple, dès qu'on parle volume, aire, (et même, en 1D, durée ou distance), il s'agit bien d'une mesure exprimable comme une n-forme (n la dimension concernée). Qui plus est, cette vision est essentielle en RG (concrétisée par le sqrt(|g|) qui apparaît dans les 4-densités). Ça, c'est pour les applications "géométriques" (espace-temps). Dans d'autres cas (comme la thermo), je ne sais pas trop (pas regardé) si et comment des notions de mesure interviennent (mais une approche justificative par la géo diff existe, avec la notion de "structure de contact", ce qui fait aussi intervenir des p-formes).

[invite76543456789]

Je vois au moins un cas en physique, ou on definit une mesure autrement que par (l'integrale d')une n-forme. C'est pour les masses (ou charge) ponctuelle.
Dans le cas d'une particule charge de charge Q, alors la "densite de charge" est un dirac. Ou dit plus rigoureusement la mesure de charge sur l'espace est la mesure de dirac en un point.

Bon on pourrait voir ca comme un courant aussi, donc rester dans le cadre differentiel. Ca me parait un peu artificiel mais pourquoi pas.

Pour mehoul, justement, la derivee au sens des mesure permet de justifier mathematiquement ce que tu dis.

[invite06b993d0]

Dans d'autres cas (comme la thermo), je ne sais pas trop (pas regardé) si et comment des notions de mesure interviennent (...)

je pense que oui. Par exemple la température est la densité de la mesure d'énergie par rapport à la mesure de masse (et non pas par rapport à la mesure de volume).

[invitef17c7c8d]

Ça, c'est pour les applications "géométriques" (espace-temps). Dans d'autres cas (comme la thermo), je ne sais pas trop (pas regardé) si et comment des notions de mesure interviennent (mais une approche justificative par la géo diff existe, avec la notion de "structure de contact", ce qui fait aussi intervenir des p-formes).

Amanuensis a ce don naturel de voir à travers les murs des disciplines scientifiques!

En thermo, on parle de mesure de probabilité invariante.
La mesure reste invariante quelle que soit la dynamique d'évolution (dans le temps) du système.
La structure de l'espace de probabilité est préservée.

Si la mesure est invariante, on peut se demander où peut se trouver l'information?
Il faut bien qu'il y ait quelquechose qui varie!
Le coup de génie est de faire varier la dimension!
Le paramètres influent, c'est la dimension.

[invite63e767fa]

Bonjour,

une petite remarque venue en relisant cette discussion. Discussion certes intéressante à un certain point de vue, mais qui me semble oublier un aspect pragmatique essentiel : A qui s'adresse-t-on ?
Bien évidemment, ce qui a été dit s'adresse à des interlocuteurs d'un certain niveau et c'est très bien ainsi.
Mais allez-vous répondre de cette façon, par exemple à cette question posée sur un autre forum (copie jointe) ?
Allez-vous parler de "mesure", de "p-formes", d'ANS, etc. ?
Restons sur terre. C'est peut être regrétable, mais dans un tel cas, je réponds avec les mots et les notations du temps de Newton et de Libnitz.

[Amanuensis]

une petite remarque venue en relisant cette discussion. Discussion certes intéressante à un certain point de vue, mais qui me semble oublier un aspect pragmatique essentiel : A qui s'adresse-t-on ?
Bien évidemment, ce qui a été dit s'adresse à des interlocuteurs d'un certain niveau et c'est très bien ainsi.
Mais allez-vous répondre de cette façon, par exemple à cette question posée sur un autre forum (copie jointe) ?
Allez-vous parler de "mesure", de "p-formes", d'ANS, etc. ?

La mention de ces domaines compliqués est une réponse à la question d'origine. La réponse que j'avais donnée contenais

Si oui y a-t-il moyen d'adopter une pédagogie plus rigoureuse ?

Oui, mais ce n'est pas nécessairement une bonne idée.

Pour moi la suite n'était qu'illustration que ce n'était pas une bonne idée !!

Il est vrai que cet aspect, en fait le plus important à mentionner en réponse, n'a pas été développé.

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Ceci dit, il y a une toute petite frange d'élèves ou d'étudiants pour lesquels c'est important, et on peut effectivement constater qu'il n'est pas facile pour eux d'accéder à l'information.

La réponse usuelle qu'on me fait là-dessus est que l'enseignement n'est pas ciblé à cette frange... C'est comme cela que j'interprèterais le "restons sur Terre", i.e., revenons à la cible principale de l'enseignement et oublions ceux, comme celui qui a posé la question, qui sont hors cible.

je réponds avec les mots et les notations du temps de Newton et de Libnitz.

?? Elles sont illisibles pour la majorité des lecteurs de notre époque. Les mots des textes scientifiques de Newton étaient des mots latins !!!

[invite06b993d0]

je pense que oui. Par exemple la température est la densité de la mesure d'énergie par rapport à la mesure de masse (et non pas par rapport à la mesure de volume).

au fait ce n'est pas tout-à-fait ça. Je pensais à un gaz composé de particules identiques. Ce n'est pas la mesure de masse mais la mesure de comptage des particules. Et il faut prendre l'espérance du rapport puisque les deux mesures sont aléatoires (enfin c'est une façon de voir).

sur les aspects théoriques de la thermodynamique il y a un bouquin de Ruelle qui est bien fait, ici : http://www.cambridge.org/gb/knowledg...e_locale=en_GB

[invite63e767fa]

Ceci dit, il y a une toute petite frange d'élèves ou d'étudiants pour lesquels c'est important, et on peut effectivement constater qu'il n'est pas facile pour eux d'accéder à l'information.
La réponse usuelle qu'on me fait là-dessus est que l'enseignement n'est pas ciblé à cette frange... C'est comme cela que j'interprèterais le "restons sur Terre", i.e., revenons à la cible principale de l'enseignement et oublions ceux, comme celui qui a posé la question, qui sont hors cible.

Je pense que ceux qui sont dans cette "frange" sont tout à fait aptes à comprendre, aussi bien la façon de faire des Physiciens que celle des Mathématiciens. Il serait exagéré de parler de bi-linguisme ! La question ne se poserait même pas si les deux étaient enseignées de façon à tirer avantage de l'une et de l'autre, pour une ouverture de l'esprit. Mais au contraire, sans vouloir le dire, ne craindraît-on pas de déformer l'esprit de ces malheureux étudiants en les faisant parfois travailler à la manière des physiciens ?

[invite76543456789]

Pour ma part, je peux repondre au dernier message.
Je me rappelle de ma sup, et non je n'arrivait pas a comprendre comment on manipulait les elements differentiels. Y avait des trucs qu'on avait le droit de faire, d'autre pas, mais impossible de savoir a l'avance (mon prof de physique lui savait ce qui etait légal ou pas, mais j'ignorais par quel moyen), certaines choses etaient legales, d'autre pas, alors que formellement c'etait la meme chose. Du coup pendant tres longtemps, la physique ca m'a semblé etre de la cuisine.

A ce jour je comprends toujours pas comment on peut accepter de manipuler des objets sans en avoir donner ne serait ce qu'un embryon de definition (et on dira ce qu'on voudra un "infiniment petit" c'est pas une definition).

Je me souviens d'un exemple assez concret d'ailleurs qui m'avait horrifié, c'etait en thermo, les 3/4 du temps quand on avait un dx/dt.dt/dy, disons, on simplifait, sauf dans un cas tres preics (dont je ne rappelle plus) ou le produit de trois derivées partielles dx/dt.dt/dy.dy/dx faisait... -1!!

[invitef17c7c8d]

Pour ma part, je peux repondre au dernier message.
Je me rappelle de ma sup, et non je n'arrivait pas a comprendre comment on manipulait les elements differentiels. Y avait des trucs qu'on avait le droit de faire, d'autre pas, mais impossible de savoir a l'avance (mon prof de physique lui savait ce qui etait légal ou pas, mais j'ignorais par quel moyen), certaines choses etaient legales, d'autre pas, alors que formellement c'etait la meme chose. Du coup pendant tres longtemps, la physique ca m'a semblé etre de la cuisine.

A ce jour je comprends toujours pas comment on peut accepter de manipuler des objets sans en avoir donner ne serait ce qu'un embryon de definition (et on dira ce qu'on voudra un "infiniment petit" c'est pas une definition).

Je me souviens d'un exemple assez concret d'ailleurs qui m'avait horrifié, c'etait en thermo, les 3/4 du temps quand on avait un dx/dt.dt/dy, disons, on simplifait, sauf dans un cas tres preics (dont je ne rappelle plus) ou le produit de trois derivées partielles dx/dt.dt/dy.dy/dx faisait... -1!!

C'est ce message qui est de la cuisine!
Je ne comprends jamais dans tes messages d'ou tu pars et ou tu veux arriver. Plus de méthode et moins de définitions. Tu dois absolument structurer d'avantage ta pensée!