Théorème de Résidus

[invitee9a827c4]

Bonjour à tous,

Comme je ne suis pas sûr que le nom de ce théorème soit universel, je vais tout d'abord un peu expliquer le contexte :

En analyse complexe on utilise donc le théorème des résidus pour calculer l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe, dans ce cas-ci 1/z(z-1) qui présentent 2 singularités 0 et 1

Le théorème nous dit que l'intégrale de cette fonction vaut 2pi*i(rés(f,0)+rés(f,1))

Pour éviter de devoir calculer l'intégrale donnant le résidus (la seule définition que je connaisse du résidus est le coefficient de Laurent a_n-1 ) on peut développer la fonction en série

pour z = 0 on a 1/z(z-1) = 1/z + 1 + z ...
pour z = 1 = -1/(z+1) + 1 - (z-1) + ...

Et là y'a un résultat qui sort un peu de nul part :

rés(f,0) = 1 et rés (f,1) = - 1

Pourquoi peut-on dire cela ? Quel est le lien entre ce résultat de la série donnant la fonction ?

Merci d'avance
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[albanxiii]

Bonjour,

Le théorème nous dit que l'intégrale de cette fonction vaut 2pi*i(rés(f,0)+rés(f,1))

Attention, ceci n'est pas vrai en général. Il faut multplier chaque résidu par l'indice du point auquel on la calcule par rapport au chemin d'intégration.

pour z = 0 on a 1/z(z-1) = 1/z + 1 + z ...
pour z = 1 = -1/(z+1) + 1 - (z-1) + ...

Et là y'a un résultat qui sort un peu de nul part :

rés(f,0) = 1 et rés (f,1) = - 1

Le résidu est le coefficient du développement en série de Laurent sur un disque pointé sur la singularité. Si est la singularité, vous cherchez le développement en série de Laurent sur le domaine .

Autrement dit, dans le premier cas, vous cherchez le développement centré sur 0 : , dans le second, c'est centré sur -1 : . En pratique, on se contente de calculer juste le nombre de termes qu'il faut pour obtenir le résidu, avec des développements limités au bon ordre, ça passe souvent. Sinon, il y a une formule générale : regardez à "mathodes de calcul" sur la page http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9...lyse_complexe)

Bonne soirée.