Bonjour !
Voila j'ai un exercice me demandant de démontrer que :
Sum( n € Z) 1/1+n² = Pi* (1+exp(-2Pi))/(1-exp(-2Pi))
Vu que tout cela se fait dans le contexte des fonctions holomorphes et du theoreme des résidu j'ai donc chercher a trouver une fonction de tel façon que quand je l'appliquerait sur un lacet je ferai apparaitre ma somme des 1/1+n² grace aux résidus.
J'ai donc penser a la fonction suivante :
f(z)= 1/(1+z²)*1/(1-exp(2Pi*i*z)
qui possède donc comme pole tout les entiers et i et -i.
Et surtout qui a comme résidus :
Res(f,n)=1/1+n² pour n<=N
Et Res(f,i)+Res(f,-i)= 1/(2Pi) * (1+exp(-2Pi))/(1-exp(-2Pi))
Je choisit comme lacet contractile : CN définie comme étant le carré centré en 0 de coté 2N+1 (donc N+1/2 de chaque coté des axes des ordonnées)
Et je demontre qu'en faisant tendre N vers l'infini j'ai l'integrale sur mon lacet qui tend vers 0.
D'apres le theoreme des résidu j'ai donc :
0 = 2*Pi*i* { Sum (sur Z) 1/1+n² + 1/(2Pi) * (1+exp(-2Pi))/(1-exp(-2Pi))}
J'ai donc un probleme deja dans le sens où je n'ai pas de i du coté de la somme des 1/1+n² et donc mon résultat doit pourtant etre réel... Pour obtenir ce que je veux il faudrait que j'ai un 1/2*Pi*i devant ma somme...
Merci de me dire où est ce que j'ai fait une erreur.
P.S : désolé de ne pas avoir mis les écritures LaTex. Promis cet été j'essaie d'apprendre. les écritures mathématiques que j'ai utilisés sont tres simple ne vous inquietez pas. Si quelqu'un a le courage de traduire ça en LaTeX pour avoir quelque chose de plus lisible c'est encore mieux.
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