Theoreme des résidus

[invitef1754d56]

Bonjour !

Voila j'ai un exercice me demandant de démontrer que :

Sum( n € Z) 1/1+n² = Pi* (1+exp(-2Pi))/(1-exp(-2Pi))

Vu que tout cela se fait dans le contexte des fonctions holomorphes et du theoreme des résidu j'ai donc chercher a trouver une fonction de tel façon que quand je l'appliquerait sur un lacet je ferai apparaitre ma somme des 1/1+n² grace aux résidus.

J'ai donc penser a la fonction suivante :
f(z)= 1/(1+z²)*1/(1-exp(2Pi*i*z)
qui possède donc comme pole tout les entiers et i et -i.

Et surtout qui a comme résidus :
Res(f,n)=1/1+n² pour n<=N
Et Res(f,i)+Res(f,-i)= 1/(2Pi) * (1+exp(-2Pi))/(1-exp(-2Pi))

Je choisit comme lacet contractile : CN définie comme étant le carré centré en 0 de coté 2N+1 (donc N+1/2 de chaque coté des axes des ordonnées)

Et je demontre qu'en faisant tendre N vers l'infini j'ai l'integrale sur mon lacet qui tend vers 0.

D'apres le theoreme des résidu j'ai donc :

0 = 2*Pi*i* { Sum (sur Z) 1/1+n² + 1/(2Pi) * (1+exp(-2Pi))/(1-exp(-2Pi))}

J'ai donc un probleme deja dans le sens où je n'ai pas de i du coté de la somme des 1/1+n² et donc mon résultat doit pourtant etre réel... Pour obtenir ce que je veux il faudrait que j'ai un 1/2*Pi*i devant ma somme...

Merci de me dire où est ce que j'ai fait une erreur.

P.S : désolé de ne pas avoir mis les écritures LaTex. Promis cet été j'essaie d'apprendre. les écritures mathématiques que j'ai utilisés sont tres simple ne vous inquietez pas. Si quelqu'un a le courage de traduire ça en LaTeX pour avoir quelque chose de plus lisible c'est encore mieux .
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[inviteb518b463]

eee alors toi tu es surement en premiere année a polytechnique non? lol
alors en fait je pense avoir trouvé pour cette somme avec des coefficien de fourier de e^x sur 0 2Pi prolongé a R comme un physicien et e^-X et apres vas surement falloir utilisé dirichlet pour pouvoir rendre la fonction en 2Pi et tu fait la somme des deux avec un joli coeffisient que tu trouve en cherchant la decomposition en element simple...
enfin g pas fait tt le calcul mais l'integration va me sortir un 1/(n+ou-i) et comme c ce que je veu... apres tu fou un coeff
par contre si t'a celle des 1/(x^2+1)^2 je suis preneur

[invitef1754d56]

Bah je pense qu'il faut utiliser le théorème des résidus vu qu'on est en plein dedans... Et vu que j'ai presque le résultat je pense juste que j'ai fait une erreur quelque part mais où ??

[inviteb518b463]

eee bas comme t'a juste un signe - qui deconne j'aurai tendace a dire que t'a oublier une indicatrice mais je voi pas pourquoi elles aurai pas tt le tps le meme signe...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef1754d56]

Bah non j'ai pas que ça qui gene. Il me manque un 1/2iPi du coté de la somme...

[inviteb518b463]

a oui escuse g mal lu
eee bas je sais pas faudrai les detailel du calcul...

[invitea6f35777]

Salut,

j'avoue que j'ai pas regardé en détails mais j'ai peut-être une idée de l'erreur que tu as pu faire. Il y a des des facteurs 2ipi ou 1/2ipi qui se promènent dans les définitions des résidus et ou dans la valeur de l'intégrale sur un lacet fermé en fonction de ses résidus, il se peut que tu en ais zappé un. Pour tester, calcul le résidu de 1/z et son intégrale sur le cercle des complexes de module 1, avec la formule des résidus et directement. Je pense que c'est une simple erreur de calcul toute bête

[breukin]

J'ai le théorème suivant :
Si f(z) est méromorphe sur C, définie pour tout entier relatif, et telle que zf(z) tend vers 0 en l'infini, alors :

Si on prend f(z)=1/(1+z²), les pôles sont i et -i, et les résidus sont respectivement -i/2 et i/2.

Pour le démontrer, on applique le théorème des résidus à la fonction f(z).cotg(pi.z) en prenant un cercle de rayon n+1/2.

[invitef1754d56]

Oui en effet c'est une simple erreur de calcul dans les résidus de mes entiers. Il manque le facteur 1/2*Pi*i.

Mais alors à ce qui parait il y aurait une autre méthode permettant de calculer cette somme et ce serait celle qui utiliserai la formule de Poisson qui dit que pour une fonction f qui est par exemple C1 et tel que f et f' soit des o(1/t²) en linfini on a Sum(sur Z) f(n)=Sum(sur Z) F(f(n)) où F designe la transformée de fourier.

J'ai donc voulu prendre f(t)=1/1+t² pour ma premiere somme mais quand j'ai essayé de calculer la somme des F(f(n)) et meme en inversant somme et integrale je n'arrive pas a conclure...

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer de cette methode sur mon exemple de la somme des 1/1+n² ? Merci.