intégrales/theoreme des residus

[invite5c6c2cbf]

Bonjour,

J'aurais des questions a vous poser a propos du calcul d'intégrale avec le theoreme des residus

Je dois calculer l'intégrale de 0 a +infini de
(racinecarrée(x))/((x^2+1)*(x^2+4))

Le chemin sur lequel je dois considerer la fonction de la variable complexe z
est:
-moitie superieure du cercle C(0,r) 0<r<1
-moitie superieure du cercle C(0,R) R>1
-deux segmens de l'axe reel: [r,R] et [-R,-r]

On me precise dans l'enonce que la racine carree(z) est une determination
convenable de la racine carree.

J'ai montré que les integrales le long des deux demi cercles superieures tendent
vers 0. Il faut que je trouve un lien le long des integrales entre les deux
segments afin de conclure avec le theoreme des residus.

Mes questions sont donc:
1/ comment trouve t-on le lien entre les integrales le long des deux segements?

2/comment dans ce genre d'exercices, on choisit d'ecrire les zeros du
denominateur avec tel ou tel angle. En effet je crois qu'il faut faire
attention, par exemple si c'était au dénominateur x^2+1 on doit prendre comme
zero exp(i*pi/2) et exp(i*3pi/2) et non pas exp(-i*pi/2). Pourquoi ce choix et comment fait-on pour choisir?

Merci d'avance pour vos reponses
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[invite9cf21bce]

Salut !

J'ai fait le calcul en suivant les indications que tu donnes.

1. En ce qui concerne le lien entre les intégrales le long des deux segments, il s'agit surtout de voir le lien entre ces intégrales et l'intégrale demandée. Dans le cas qui nous intéresse, le lien saute aux yeux dès qu'on a remplacé chaque intégrale curviligne par une intégrale réelle ; il suffit de paramétrer (naturellement) chaque segment.

2. Je ne sais pas si j'ai bien compris ta question 2, mais bon. Ici, il nous faut calculer le résidu de la fonction en chaque pôle situé dans le lacet, à savoir : i et 2i.
Pour calculer le résidu en i, par exemple, nous allons entre autres choses devoir calculer f(i), où f est la détermination choisie pour la racine carrée. J'ai choisi la détermination suivante, car les et en question englobent tout le lacet :

où et .

Du coup, avec ma détermination,

Ainsi, c'est le choix que j'ai fait pour ma détermination qui a imposé que j'écrive i sous la forme ...

Bon, voilà, j'espère ne pas avoir raté le sens de ta question.

[invite35452583]

Bonjour,
pour le lien, il est assez évident que l'intégrale le long de [r,R] est égale à (+ ou -i) l'intégrale le long de [-r,R]. La question est quel signe ? Cette indétermination vient que racine carrée est définie modulo pi (elle est bivalente). On lève ainsi l'indétermination : tant que l'on reste dans un domaine simplement connexe excluant 0 (un demi anneau tel que défini par exemple) alors en choisissant une valeur de la racine en un point x0 détermine par continuité (indispensable pour appliquer le théorème des résidus) la valeur de racine carrée en tous les autres points.
Dans le problème posé, l'intégrale initiale utilise la fonction racine carrée réelle donc impose la détermination de racine carrée complexe pour les points de [r,R] (la racine d'argument 0 modulo 2pi, dans R+ quoi). On a alors par continuité racine carré ([-R,-r]) dans (R+).i .
Maintenant il faut faire attention au sens d'intégration le long de [-R,-r] par rapport à celui le long de [r,R] et le signe de d(transformation opérée pour passer de [r,R] à [-r,-R])=d(-z)=-dz. Deux fois -1 ça donne +.
On obtient

2) Le théorème des résidus est un théorème géométrique : les résidus qui entrent en jeu sont ceux qui sont dans le domaine ouvert borné (simplement connexe). ici, ces deux résidus sont bien i et 2i (enfin pour R suffisamment grand)

[invite5c6c2cbf]

Merci pour vos reponses.

Cependant, je ne comprends toujours pas pourquoi le lien entre les intégrales est un facteur de + OU - i. L'un d'entre vous a dit qu'il fallait remplacer chaque integrale curviligne par une intégrale reelle en parametrant chaque segment [r,R] et [-R,-r]. Mais pouvez me dire explicitement comment faire car je ne vois du tout!
Merci encore pour votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cf21bce]

Tu paramétrises le segment [-R;-r] par z=-x ; vu le sens de parcours, x va de R à r. Alors dz=-dx et , avec la détermination choisie.



et on reconnaît notre intégrale.

[invite5c6c2cbf]

C'est bon j'ai compris
Merci a tous