Théorème des résidus pour les nuls...

[Skippy le Grand Gourou]

(Enfin au moins pour un...)

Bonjour,

Depuis une violente dispute que j'ai eu avec les mathématiques juste après le bac, on ne se parle plus. Ca pose parfois quelques petits problèmes lorsqu'on arrive en master 2 de physique théorique... Ainsi, en ce moment, j'ai besoin d'utiliser le théorème des résidus. J'ai bien essayé d'ouvrir un bouquin de maths, mais ça déclenche chez moi un choc anaphylactique... Pareil pour les bouquins de physiques sur le sujet, c'est toujours très mathématique (rien que d'en parler, brr... )...

Aussi, je serais aux anges si quelqu'un voulait bien m'exposer ce théorème avec un exemple simplissime que je pourrais généraliser après.

Merci infiniment.
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[GuYem]

Salut Skippy. Ce que tu vis avec les maths, je le vis avec la physique. La différence étant que pour faire des maths on n'a pas besoin de comprendre la physique! Je préfère donc ma situation à la tienne.

Pour résumer le théorème des résidus on pourrait dire cela:
Si f est une fonction méromorphe dans un ouvert de C et Gamma un lacet dans cet ouvert. Alors l'intégrale de f le long de Gamma est la somme des résidus de f en ses poles entourés par le lacet.
(Il faut multiplier par l'indice du pole par rapport au lacet qui est souvent 1 et par 2iPi)

Pour faire super simple prend la fonction définie sur C* par z->1/z et prend pour lacet le cercle unité parametré par t->exp(2.i.Pi.t)
Ce lacet fais une fois le tour du seul pole de f qui est 0. Le résidu de f en 0 est par définition le coefficient de (z^-1) dans son développement en série de Laurent, c'est donc 1.

Et donc tu obtiens que l'intégrale de f sur le cercle unité vaut 2.i.Pi.

En espérant ne pas avoir raconté de bétises!

[Skippy le Grand Gourou]

Bienvenue au club !

Bon, merci pour ta réponse, mais y'a encore quelques points obscurs pour moi :

Si f est une fonction méromorphe

Plaît-il ?

Il faut multiplier par l'indice du pole par rapport au lacet

Kézako ?

Le résidu de f en 0 est par définition le coefficient de (z^-1) dans son développement en série de Laurent

(Wikipédia est mon amie ) Ce coefficient vaut :

je suppose, et le résidu est sa valeur au pôle, c'est-à-dire (EDIT) en c=0 pour ton exemple ?

[GuYem]

Fonction méromorphes : quetient de deux fonctions holomorphes, cherche pas vraiment plus loin ; tout ce que tu rencontreras sera méromorphe.

Indice d'un point par rapport à un lacet : nombre de fois que le lacet fait le tour du point. Le plus souvent c'est 1 dans le cas où le lacet est un cercle par exemple.

Résidu : coeff que tu as donné pour n=-1. Ici ca tourne en rond si tu utilises la formule donnée. En pratique il y a un moyen simple de calculer le résidu(du moins il faut espérer)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Salut,
Traduction pour un physicien :

Si f est une fonction méromorphe

Si f est une fonction gentille.

Il faut multiplier par l'indice du pole par rapport au lacet

L'indice du pôle par rapport au lacet, c'est le nombre de tours que fait le lacet autour du pôle, en faisant gaffe au signe.

Le résidu de f en 0 est par définition le coefficient de (z^-1) dans son développement en série de Laurent

On peut aussi dire que le résidu de f en c, c'est la limite de (z-c)f(z) quand z tend vers c. Par exemple, le résidu de c'est 2,32.

EDIT Croisement avec GuYem

[Skippy le Grand Gourou]

D'accord, ça commence à venir. Encore deux petits points :

coeff que tu as donné pour n=-1

Pourquoi pour n=-1 ?

l'intégrale de f le long de Gamma est la somme des résidus de f en ses poles entourés par le lacet.

Mais alors le choix du contour ne change rien ?

Question subsidiaire : ça marche à chaque fois le coup de la limite ? Ca m'a l'air bien plus pratique que le a_n que j'ai donné...

[GuYem]

n=-1 parce que le résidu c'est le terme en (z-c)^-1 dans le développement de f en série.
Fait plutôt le coup de la limite ça doit mieux aller


le choix du contour chane le résultat. Si le contour n'entoure pas certains pole, les résidus correspondant n'apparaitront pas dans la somme.

Avec l'exemple que j'ai donné, si tu prends un cercle qui n'entoure pas le point 0 (le pole de la fonction 1/z) alors l'intégrale est nulle.

[Coincoin]

Mais alors le choix du contour ne change rien ?

C'est ça qui est fantastique ! Tu peux prendre un profil en tête de Mickey, ce qui compte c'est simplement des considérations topologiques (nombre de tours, pôles entourés).

ça marche à chaque fois le coup de la limite ? Ca m'a l'air bien plus pratique que le an que j'ai donné...

Ca marche pour des pôles simples (c'est-à-dire qu'en multipliant par z-c tu effaces ce pôle). Pour les pôles d'ordre multiple ("plus profonds") y a une formule analogue en plus complexe. Mais ça a le mérite de faire sentir ce qu'est un résidu.

EDIT Encore grillé

[Skippy le Grand Gourou]

Ok, merci beaucoup, maintenant ça me semble clair. Je m'en vais de ce pas essayer tout ça sur mes fonctions de Green...

[Coincoin]

Bonne soirée