Equation ordre n

[invite6ac3a3cf]

Salut,
Je n'arrive pas à résoudre cette équation :

( X + 1 )^n / ( X + 1 )^n = 1

Je sais pas comment partir...
Un peu d'aide svp.
Merci
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[Flyingsquirrel]

Salut,

( X + 1 )^n / ( X + 1 )^n = 1

Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont égaux. C'est normal ?

[invite6ac3a3cf]

Mince désolé pour mon étourderie...
C'est : (X-1)^n/(X+1)^n = 1

[Flyingsquirrel]

Dans ce cas il suffit de remarquer que ton équation peut s'écrire . Comme on connait les solutions de (les racines -ième de l'unité), on peut en déduire les valeurs possibles de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6ac3a3cf]

Comme on connait les solutions de ..... ?? Je comprends pas le signe employé.
Merci

[Flyingsquirrel]

Comme on connait les solutions de ..... ??

J'ai supposé que tu les connaissais (c'est assez classique) mais on peut les trouver en résolvant l'équation où est un nombre complexe. Le plus simple est d'utiliser la forme exponentielle : on pose avec et . L'équation à résoudre s'écrit alors et en raisonnant sur le module et l'argument des deux membres de l'égalité on trouve les valeurs possibles de et de .

Je comprends pas le signe employé.

C'est la lettre grecque zêta.

[invite6ac3a3cf]

euhh....
Je vois pas ce qu'elle devient l'équation...
Merci encore.

[Flyingsquirrel]

Je vois pas ce qu'elle devient l'équation...

À quelles conditions (portant sur leurs modules et leurs arguments) deux nombres complexes sont-ils égaux ?

[invite6ac3a3cf]

Si leur module et argument sont égaux?

[Flyingsquirrel]

Ma question n'était pas assez précise. Ce qui nous intéresse c'est une condition nécessaire et suffisante pour que deux nombres complexes soient égaux. La condition que tu donnes est trop restrictive car si l'on prend deux nombres complexes de même module et dont les arguments diffèrent de , ces deux nombres sont égaux mais les arguments que l'on a choisis sont différents. Ce que je voulais te faire dire c'est que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si

• ils ont même module ;
• leurs argument sont congrus modulo .

Cela nous permet d'écrire que l'équation est équivalente à . La première de ces deux équations permet de déterminer la valeur de et la seconde nous donne les valeurs permises de (ne pas oublier que j'ai imposé au départ et ). Au final tu dois obtenir solutions distinctes.

[invite6ac3a3cf]

Donc je résouds d'abord l'équation du haut puis celle du bas?
Je dis que Z=pe^(io)?
Mais le -1 j'en fais quoi?

Merci pour tout.

[Flyingsquirrel]

Donc je résouds d'abord l'équation du haut puis celle du bas?

Ou celle du bas puis celle du haut, ça n'a pas d'importance.

Je dis que Z=pe^(io)?

Oui, c'est ce que j'ai fait au message n^o6

Mais le -1 j'en fais quoi?

De quel -1 parles-tu ?

[invite6ac3a3cf]

Ben de (X-1)^n / (X+1)^n = 1
Merci

[Flyingsquirrel]

Dans ce cas je n'ai pas compris le message n^o11.

Pour résoudre l'exercice on pose . L'équation à résoudre s'écrit alors , équation dont les solutions sont les racines -ième de l'unité. Cela nous donne valeurs possibles pour et pour chacune d'elles on utilise la relation pour en déduire la valeur de correspondant.

[invite6ac3a3cf]

A d'accord!
J'avais pas compris que toute l'équation était égale à zéta!
Merci, je vais essayer!

[invite6ac3a3cf]

J'ai fait le calcul et je trouve que :

X= -e^((j2kpi)/n)-1 / e^((j2kpi)/n)-1

Un avis lol?
Merci

[Flyingsquirrel]

J'ai fait le calcul et je trouve que :

X= -e^((j2kpi)/n)-1 / e^((j2kpi)/n)-1

Oui, à condition que .

On peut tout de même simplifier cette écriture :

[Flyingsquirrel]

Je ne peux pus corriger mon message précédent...

Plutôt que d'écrire la réponse comme l'inverse d'une tangente (ce qui pose problème car elle n'est pas définie en c'est-à-dire quand ) il vaut mieux utiliser la cotangente. Dans ce cas le résultat est , avec .

[invite6ac3a3cf]

Ca va, merci beaucoup pour ton aide.