Equation ordre n

invite6ac3a3cf · 22/06/2009, 21h16

Salut,
Je n'arrive pas à résoudre cette équation :

( X + 1 )^n / ( X + 1 )^n = 1

Je sais pas comment partir...
Un peu d'aide svp.
Merci

**Flyingsquirrel** · 22/06/2009, 21h22

Salut,

Envoyé par remix13

( X + 1 )^n / ( X + 1 )^n = 1

Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont égaux. C'est normal ?

invite6ac3a3cf · 22/06/2009, 21h25

Mince désolé pour mon étourderie...
C'est : (X-1)^n/(X+1)^n = 1

**Flyingsquirrel** · 22/06/2009, 21h34

Dans ce cas il suffit de remarquer que ton équation peut s'écrire $\left(\frac{X-1}{X+1}\right)^n=1$ . Comme on connait les solutions de $\zeta^n=1$ (les racines $n$ -ième de l'unité), on peut en déduire les valeurs possibles de $X$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite6ac3a3cf · 22/06/2009, 21h37

Comme on connait les solutions de ..... ?? Je comprends pas le signe employé.
Merci

**Flyingsquirrel** · 22/06/2009, 21h48

Envoyé par remix13

Comme on connait les solutions de ..... ??

J'ai supposé que tu les connaissais (c'est assez classique) mais on peut les trouver en résolvant l'équation $\zeta^n=1$ où $\zeta$ est un nombre complexe. Le plus simple est d'utiliser la forme exponentielle : on pose $\zeta = \rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $\rho>0$ et $\theta \in[0,\ 2\pi[$ . L'équation à résoudre s'écrit alors $\rho^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}n \theta}=1$ et en raisonnant sur le module et l'argument des deux membres de l'égalité on trouve les valeurs possibles de $\rho$ et de $\theta$ .

Je comprends pas le signe employé.

C'est la lettre grecque zêta.

invite6ac3a3cf · 22/06/2009, 21h53

euhh....
Je vois pas ce qu'elle devient l'équation...
Merci encore.

**Flyingsquirrel** · 22/06/2009, 22h09

Envoyé par remix13

Je vois pas ce qu'elle devient l'équation...

À quelles conditions (portant sur leurs modules et leurs arguments) deux nombres complexes sont-ils égaux ?

invite6ac3a3cf · 22/06/2009, 22h14

Si leur module et argument sont égaux?

**Flyingsquirrel** · 23/06/2009, 10h50

Ma question n'était pas assez précise. Ce qui nous intéresse c'est une condition nécessaire et suffisante pour que deux nombres complexes soient égaux. La condition que tu donnes est trop restrictive car si l'on prend deux nombres complexes de même module et dont les arguments diffèrent de $2\pi$ , ces deux nombres sont égaux mais les arguments que l'on a choisis sont différents. Ce que je voulais te faire dire c'est que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si

ils ont même module ;
leurs argument sont congrus modulo $2\pi$ .

Cela nous permet d'écrire que l'équation $\rho^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}n \theta}=1$ est équivalente à $\begin{cases}\rho^n=1\\n\theta \equiv0\quad\pmod{2\pi}\end{cases}$ . La première de ces deux équations permet de déterminer la valeur de $\rho$ et la seconde nous donne les valeurs permises de $\theta$ (ne pas oublier que j'ai imposé au départ $\rho>0$ et $\theta\in[0,\ 2\pi[$ ). Au final tu dois obtenir $n$ solutions distinctes.

invite6ac3a3cf · 23/06/2009, 11h52

Donc je résouds d'abord l'équation du haut puis celle du bas?
Je dis que Z=pe^(io)?
Mais le -1 j'en fais quoi?

Merci pour tout.

**Flyingsquirrel** · 23/06/2009, 11h59

Envoyé par remix13

Donc je résouds d'abord l'équation du haut puis celle du bas?

Ou celle du bas puis celle du haut, ça n'a pas d'importance.

Envoyé par remix13

Je dis que Z=pe^(io)?

Oui, c'est ce que j'ai fait au message n^o6

Envoyé par remix13

Mais le -1 j'en fais quoi?

De quel -1 parles-tu ?

invite6ac3a3cf · 23/06/2009, 12h01

Ben de (X-1)^n / (X+1)^n = 1
Merci

**Flyingsquirrel** · 23/06/2009, 14h38

Dans ce cas je n'ai pas compris le message n^o11.

Pour résoudre l'exercice on pose $\zeta=\frac{X-1}{X+1}$ . L'équation à résoudre s'écrit alors $\zeta^n=1$ , équation dont les solutions sont les racines $n$ -ième de l'unité. Cela nous donne $n$ valeurs possibles pour $\zeta$ et pour chacune d'elles on utilise la relation $\zeta=\frac{X-1}{X+1}$ pour en déduire la valeur de $X$ correspondant.

invite6ac3a3cf · 23/06/2009, 14h47

A d'accord!
J'avais pas compris que toute l'équation était égale à zéta!
Merci, je vais essayer!

invite6ac3a3cf · 23/06/2009, 16h58

J'ai fait le calcul et je trouve que :

X= -e^((j2kpi)/n)-1 / e^((j2kpi)/n)-1

Un avis lol?
Merci

**Flyingsquirrel** · 23/06/2009, 17h27

Envoyé par remix13

J'ai fait le calcul et je trouve que :

X= -e^((j2kpi)/n)-1 / e^((j2kpi)/n)-1

Oui, à condition que $ \mathrm{e}^{\frac{2k\pi}{n} \mathrm{i}}\neq 1$ .

On peut tout de même simplifier cette écriture :

$\frac{-\mathrm{e}^{\frac{2k\pi}{n} \mathrm{i}}-1}{\mathrm{e}^{\frac{2k\pi}{n} \mathrm{i}}-1} =\frac{\mathrm{e}^{\frac{2k\pi}{n} \mathrm{i}}+1}{1-\mathrm{e}^{\frac{2k\pi}{n} \mathrm{i}}} =\frac{\mathrm{e}^{\frac{k\pi}{n} \mathrm{i}}} {\mathrm{e}^{\frac{k\pi}{n} \mathrm{i}}} \cdot \frac{\mathrm{e}^{\frac{k\pi}{n} \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{-\frac{k\pi}{n} \mathrm{i}}}{\mathrm{e}^{\frac{-k\pi}{n} \mathrm{i}}-\mathrm{e}^{\frac{k\pi}{n} \mathrm{i}}} =\mathrm{i}\cdot \frac{\mathrm{e}^{\frac{k\pi}{n} \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{-\frac{k\pi}{n} \mathrm{i}}}{2}\cdot \frac{2\mathrm{i}}{\mathrm{e}^{\frac{k\pi}{n} \mathrm{i}}-\mathrm{e}^{\frac{-k\pi}{n} \mathrm{i}}} =\frac{\mathrm{i}}{\tan\left( \frac{k\pi}{n} \right)}$

**Flyingsquirrel** · 23/06/2009, 17h39

Je ne peux pus corriger mon message précédent...

Plutôt que d'écrire la réponse comme l'inverse d'une tangente (ce qui pose problème car elle n'est pas définie en $\pi/2$ c'est-à-dire quand $k=n/2$ ) il vaut mieux utiliser la cotangente. Dans ce cas le résultat est $i\mathrm{cotan}\!\left(\frac{k\pi}{n}\right)$ , avec $k\in\{1,\ 2,\ldots,\ n-1\}$ .

invite6ac3a3cf · 23/06/2009, 17h57

Ca va, merci beaucoup pour ton aide.

Equation ordre n

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Re : Equation ordre n

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