matrice d´incidence

[invitee75a2d43]

bonjour,

J´ai le problème suivant: dans un exo de géométrie incidencielle, on me demande de prouver que dans un espace géométrique fini (k points), le nombre de droites est toujours supérieur ou égal nombre de points. On nous met sur la voie en nous faisant calculer la matrice d´incidence M, puis M^t.M.
Il s´agit alors de prouver que le rang de M^t.M est k, donc de déterminant non nul. J´ai cru que c´était facile, ben non. Voilà ce que j´ai trouvé jusqu´à présent:

La matrice M^t.M représente en fait la chose suivante: la valeur de m_i,j est le nombre de droites communes à P_i et P_j. Donc pour i j, ce nombre est 1, et sur la diagonale, m_i,i est le nombre de droites qui passent par P_i.

À partir de là, il s´agit de manipuler une telle Matrice, dont les éléments diagonaux sont supérieurs ou égaux à 2, et dont tous les autres éléments sont 1. J´essaie d´en faire une matrice triangulaire en commencant par ôter la premiére colonne de chacune des autres, j´ai plein de 0 presque partout, mais pas partout.

Comment faire

Merci de vos suggestions

Christophe
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[Seirios]

Bonjour,

Une information sur la parité des éléments diagonaux ?

[invitee75a2d43]

Bonjour,

Une information sur la parité des éléments diagonaux ?

Ben non, je vois pas, je sais seulement qu´ils sont supérieurs ou égaux à 2. Ou bien est-ce que tu veux dire la parité du nombre d´éléments diagonaux?
Au début j´avais espéré que ce déterminant est le produit des (1-Lambda_i), mais ca ne marche pas.

[Seirios]

Donc finalement, si je note J la matrice nxn remplie de zéros, il s'agit de montrer que si avec les , alors J+D est inversible. Je propose :

Si on prend un vecteur X tel que (J+D)X=0, alors . Or pour tout i, , donc nécessairement X=0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

Donc finalement, si je note J la matrice nxn remplie de zéros...

Je suppose que tu veux dire remplie de uns...
Tu veux dire qu´avec cette formule j´ai (enfin, tu as...) prouvé que ladite matrice est définie positive et donc par là même inversible? Je vais essayer de comprendre ta formule. Merci.

[Seirios]

Je suppose que tu veux dire remplie de uns...

Oui, bien sûr

Tu veux dire qu´avec cette formule j´ai (enfin, tu as...) prouvé que ladite matrice est définie positive et donc par là même inversible? Je vais essayer de comprendre ta formule.

L'application associée à une telle matrice est nécessairement injective, et puisque l'on est en dimension finie, elle est a fortiori inversible.

[invitee75a2d43]

Merci Seirios, j´ai tout compris grâce à toi!