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Symbole D majuscule(différentielle?)



  1. #1
    leongartier

    Symbole D majuscule(différentielle?)


    ------

    Bonjour,

    sur wikipédia j'ai vu une notation que je ne comprend pas: en fin de cette page: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...3.A9n.C3.A9ral

    Que veut dire ce D majuscule? est-ce une autre notation de différentielle?

    et en parlant de différentielle j'ai un exercice avec une fonction de deux variables et on me demande de calculer sa dérivée : il s'agit de calculer la différentielle ou le gradient?

    d'avance merci

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  4. #2
    Tryss

    Re : symbole D majuscule(différentielle?)

    Oui, c'est une "autre" notation pour la différentielle, sachant qu'on est dans le cas général, donc à priori de dimension infinie (sinon c'est pas drôle).

    Sinon, le gradient est (ou est identifié à) la différentielle d'une fonction de R^n dans R, donc si ta fonction est à valeur dans R, c'est pareil, si elle est à valeur dans R^m, on ne parle pas de gradient.

  5. #3
    leongartier

    Re : symbole D majuscule(différentielle?)

    merci pour la réponse.

    j'ai encore un peu de mal avec cette notion. prenons un exemple de mon livre:
    si j'ai la fonction par exemple
    on a:


    donc la dérivée de f est :

    où dx et dy sont des scalaires si j'ai bien compris?
    mais si je veux la dérivée au point (1,2) par exemple dois-je prendre (x=1 et y=2) ou (dx=1 et dy=2)? dans les deux cas ma dérivée au point (1,2) dépend encore de deux inconnues(soit x et y si j'ai pris dx=1 et dy=2 ou soit dx et dy si j'ai pris x=1 et y=2) donc df reste une fonction de deux variable et non un nombre comme c'est le cas pour une fonction de R dans R car initialement df a quatre variable(x,y,dx,dy) et j'en fixe que 2.

    je suppose que c'est là où il faut évoquer la dérivée de la fonction en (1,2) dans la direction d'un vecteur mais j'ai pas bien compris pourquoi on dérivait par rapport à un vecteur(ce n'est pas le cas pour une fonction de R dans R) surtout que la question de l'exercice concernée est juste
    montrer que la fonction est de classe calculer la dérivée
    donc il n'y a pas de vecteur donnant la direction.

    (Pour la classe C1 j'ai juste dit que et était chacune C1 en x et en y)

    bref c'est encore assez flou tous ça.

  6. #4
    Linkounet

    Re : symbole D majuscule(différentielle?)

    dx et dy ne sont pas des scalaires, mais des fonctions : pour faire simple tu as dx(a,b) = a et dy(a,b) =b.
    df n'est donc pas un nombre mais une fonction linéaire (car dx et dy le sont). Cette fonction dépend du point a. Da(f) est une application linéaire différente de Db(f) si a=/=b.

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  8. #5
    Linkounet

    Re : symbole D majuscule(différentielle?)

    Et pour ton autre question, tu prends la valeur de df/dx au point (1,2) et celle de df/dy au point (1,2), tu auras donc deux vecteurs qui sont les colonnes de la matrice jacobienne de f au point (1,2), aussi appelé dérivée.

  9. #6
    leongartier

    Re : symbole D majuscule(différentielle?)

    ça veut dire que la matrice jacobienne (que je n'est pas vu en passant a part sur wiki donc j’espère ne pas dire de bétise) est la dérivée de ma fonction en (1,2)?
    donc que la dérivée de ma fonction en (1,2) est une application linéaire et non un nombre?
    j'ai vraiment du mal avec ça(heureusement que c'est pas dans le programme de l'exam^^):

    même en ignorant le mot linéaire si on a une fonction de R dans R par exemple g(x)=x^2 si on me demande la dérivée : c'est bien une application (g'(x)=2x) mais si on me demande la dérivée en un point de f alors c'est un nombre et plus une application (par exemple la dérivée en 3 c'est 2*3=6)

    pour revenir a ma fonction de R^2 dans R^2 quand on veut la dérivée de f en un point (ici (1,2)) vous me dite que c'est une application et non un nombre si j'ai bien compris. donc des fois la dérivée en un point est un nombre et des fois c'est une application? je crois que je m'embrouille pas mal là!

    (merci encore pour consacré un peu de votre temps sur mon post)

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  11. #7
    Linkounet

    Re : symbole D majuscule(différentielle?)

    Ne confonds pas dérivée et différentielle.

    Dans le cas de R, la dérivée en un point est un nombre, par exemple la dérivée de x² en 3 est 6. Sa différentielle en 3 est une application linéaire . Il s'agit de h->6h. Les applications linéaires de R sont tout simplement les multiplications par des constantes

    Dans ton 2ème message tu disais "donc la dérivée de f est..." ce n'est pas sa dérivée mais sa différentielle. La différentielle est une application dont l'image en chaque point est encore une application (mais linéaire), et son expression est donnée en fonction des dérivées partielles en ce point et les app linéaires basiques dx et dy

    Au passage on emploie très rarement le terme dérivée pour les fonctions de plusieurs variables, à moins que ton cours en parle, ce qui ne semble pas être car tu dis dérivée en parlant de différentielle, ne l'utilise pas.

  12. #8
    Linkounet

    Re : symbole D majuscule(différentielle?)

    En fait la dérivée n'est définie que pour les fonctions dont l'espace de départ est R !

  13. #9
    leongartier

    Re : symbole D majuscule(différentielle?)

    a ok c'est bon ça s’éclaircit c'est génial
    merci énormément

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