Equation complexe second degré

[ecol1]

Bonsoir à tous,

Quelqu'un peut-il m'aider sur la méthode à appliquer pour résoudre dans le corps des complexes (et mettre sous forme cartésienne):

z^2+(1+i)z-3(2-i)=0

Merci à tous !
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[gg0]

Bonjour.

Si tu n'as pas de cours spécifique, tu peux utiliser la forme canonique du trinôme (*), valable aussi en complexes. Puis factoriser (toujours possible). Si tu as vu la formule de résolution en cours, il suffit de l'appliquer.

Cordialement.

(*) on réécrit l'équation sous la forme (z+ a)² -b=0 où a et b sont des complexes constants faciles à trouver.

[pallas]

il suffit de chercher le discriminant et de chercher ses racine carrées( simple ici) et d'appliquer les formules des solutions d'un trinome du second degré

[ecol1]

J'ai essayé avec le discriminant mais je trouve delta = 10i - 24 et donc d'après moi je peux pas calculer z1 et z2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Linkounet]

il te faut trouver un nombre d tel que d²=delta, sais-tu comment faire ?

[ecol1]

Je ne vois pas du tout, tu peux m'expliquer s'il te plait ?

[gg0]

Ben ...

il vient de t'expliquer, à toi de faire ...
Tu cherches un nombre a+ib tel que (a+ib)²=-24+10i

Allez, au travail !

[breukin]

Il y a une erreur de signe dans le calcul du discriminant d=b²-4ac.

[invite7fe3c3ee]

Bonjour. Pardonnez moi de m'immiscer
De toute évidence -3 et 2-i sont les racines évidentes de cette équation (P=-3(2-i))
Ce qui n'empêche pas d'apprendre la méthode générale !

[breukin]

Non, pas "de toute évidence", mais "plutôt facilement". Il faut se poser la question "y aurait-il une racine réelle ?". Une fois qu'on a constaté qu'il y en a une, trouver l'autre se fait par factorisation.
Quant à trouver l'autre directement... Si ça avait été -3+i, auriez-vous écrit "de toute évidence, -3+i et 2-i sont les racines évidentes" ?

[invite7fe3c3ee]

Disons que si on donne à résoudre z^2+z+(-3+i)(2-i)=0
je suis tenté de dire c'est évident ! Tout dépend du public bien sûr.

[breukin]

Si on vous donne à résoudre z²+z-5+5i=0, vous voyez tout de suite (spontanément, de manière jaillissante dans le cerveau) que 1=-(-3+i)-(2-i) et que -5+5i=(-3+i)(2-i), sans calcul ?

[invite7fe3c3ee]

Je pense que nous sommes d'accord, je retire évident et je garde facile
Encore que pour ton dernier exemplecurve, un cerveau peut calculer ainsi:
-5+5i=5(-1+i)=(2-i)(2+i)(-1+i)=(2-i)(-3+i)
puis toujours mentalement 2-i+(-3+i)=-1 ce qui confirme les 2 solutions
On s'égare peut-être du sujet initial

[invite7fe3c3ee]

il faut évidemment lire "pour ton dernier exemple"
Très dangereux de faire plusieurs choses en même temps !

[ecol1]

J'ai fait le module z donc

je trouve z1 = -1-i-/2

z2= -1-i+/2

Est-ce que la méthode est correct ? Et quelqu'un peut-il me dire comment mettre le résultat sous forme cartésienne ? En fait c'est quoi une forme cartésienne ?

[breukin]

Il ne s'agit pas de calculer le module de , mais de calculer une racine carrée de (et les racines seront ).
Donc de trouver deux réels et tels que , donc tels que et .
Et là, si on tente de trouver deux entiers tels que ça marche, il n'y a plus beaucoup de choix possibles pour que !

[ecol1]

merci je pense avoir compris, mais je suis pas encore sur, alors voici un autre exemple:

(u+iv)^2=-12-16i

alors dans u^2-v^2=-12

et 2uv=-16

donc ici il y'aurait deux racines ? c'est-à-dire u= -2 et v= 4 ?

Merci

[pallas]

pour trouver les racinhes carrées de -24 +10i il y a plusieurs methode mais tu dois remarquer de facon evidente que( 1+5i)²= ??

[breukin]

Deux racines à quoi ?

Notez qu'il n'y a aucune raison en général qu'un couple réel solution du système de deux équations à deux inconnues s'avère en fait être un couple d'entiers, quand est un couple d'entiers. Ce n'est qu'une tentative consistant à essayer de voir si par hasard, une racine carrée du nombre complexe pourrait s'exprimer simplement