Nombre de premiers inférieur à x ?

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

Comment calcule t on le nombre de nombres premiers inférieur à x (en pratique) ?

Il semblerait que fournisse une bonne approximation pour x pas trop grand mais que Li(x) fournisse le meilleur résultat pour

Comment calcule t on ce en pratique ?

Cordialement
Anthony
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[breukin]

Une bonne formule de calcul est, pour :

et

Voir http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html et ailleurs.
Il doit exister une formule asymptotique pour les très grandes valeurs, car plus c'est grand, plus la série doit avoir un grand nombres de termes.

[invitefd4e7c09]

Une bonne formule de calcul est, pour :

et

.

Merci pour cette info.
Apparemment cette égalité est due a Ramanujan (encore lui, quel talent !) mais elle est laborieuse à utiliser en pratique quand on a qu'un papier et un crayon (accessoirement un cerveau ...)
Une autre égalité du même acabit donne :



Je me demande encore s'il existe une égalité plus accessible à la main mais visiblement rien n'est simple avec les nombres premiers ?

[breukin]

Attention, c'est une série asymptotique, elle est divergente.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefd4e7c09]

Re,

Après vérification, il semblerait qu'il s'agisse d'un développement asymptotique et que la série diverge effectivement. Mais qu'est ce que cela signifie exactement ?
Mettons que l'on veuille calculer , trouverons nous une valeur exacte à l'aide de *ce* développement asymptotique ?

Cordialement
Anthony

[breukin]

Les séries asymptotiques s'utilisent avec un nombre fini de termes et un majorant du reste, majorant qui en général est le premier terme ignoré (ou le dernier terme considéré, à vérifier).
Si on veut une précision donnée, elle ne peut être atteinte que pour des valeurs suffisament grandes, et alors il faut calculer le nombre optimal de termes.
Ici (je n'ai pas vérifié votre formule),
avec (à vérifier s'il faut prendre n ou n+1).

Donc pour x=100, il faut étudier la fonction et trouver son minimum. On ne pourra pas avoir une précision plus grande que ce minimum.

De fait, cette formule est peu avantageuse, car en prenant le terme majeur de Stirling , on voit que ça se comporte majoritairement comme du . Il faut donc, à cause du log, des valeurs gigantesques de x pour espérer atteindre un optimum de n conduisant à une erreur faible...

[invitefd4e7c09]

Ici (je n'ai pas vérifié votre formule),
avec (à vérifier s'il faut prendre n ou n+1).

Je crois que vous avez commis une erreur en plaçant le x au dénominateur.

Donc pour x=100, il faut étudier la fonction et trouver son minimum. On ne pourra pas avoir une précision plus grande que ce minimum.

Ok donc double boulot !

De fait, cette formule est peu avantageuse, car en prenant le terme majeur de Stirling , on voit que ça se comporte majoritairement comme du . Il faut donc, à cause du log, des valeurs gigantesques de x pour espérer atteindre un optimum de n conduisant à une erreur faible...

Bref, c'est lourd et au final on aboutit pas à quelquechose de précis donc on abandonne.

Merci pour ces précisions

Cordialement
Anthony

[breukin]

Je crois que vous avez commis une erreur en plaçant le x au dénominateur.

J'ai repris exactement votre formule, où il y avait un m au dénominateur !

Il y a des exemples où une formule asymptotique donne des bons résultats, comme celle de la fonction Gamma (son logarithme), où celle de la fonction zeta (par application d'Euler Mac-Laurin).

[invitefd4e7c09]

J'ai repris exactement votre formule, où il y avait un m au dénominateur !

Il y a des exemples où une formule asymptotique donne des bons résultats, comme celle de la fonction Gamma (son logarithme), où celle de la fonction zeta (par application d'Euler Mac-Laurin).

Exact ! Vous avez divisé les deux membres de l'égalité par x d'ou le x au dénominateur du premier membre.