divisibilité, nombre premiers

[invite425270e0]

Bonsoir,

Encore un p'tit exo d'arithmétique qui pose pas mal problème, j'voulais finir avant d'me coucher mais c'est raté j'crois

"Si p est un nombre premier, montrer que p divise 1806 si et seulement si p-1 divise 1806"

on sait que si alors p-1 pair. J'ai essayé avec et ça marche

Si alors ...
Enfin voilà pour l'instant ça avance pas plus :s..

De l'aide peut-être?
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[invite787dfb08]

J'ai une proposition:

Si tu veux des pistes, je dirai diviseurs de 1806....

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et donc 1806 adment 16 diviseurs positifs (on travaille dans N).

Ces diviseurs sont de la forme pour tout a compris entre 0 et 1.

Ce qui nous donne cet ensemble de diviseurs : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, 43, 86, 129, 258, 301, 602, 903, 1806.

Or on sait que p est premier, donc on vire tout ce qui n'est pas premier, il reste : 3, 7, 43, car p > 2.

Donc p, premier, divise 1806 si et seulement si p-1 divise aussi 1806, car comme on le constate dans le premier ensemble, 2, 6, et 42 divise aussi 1806.

On remarque que n'importe quel autre nombre premier, comme 19 ne divise pas 1806 car 18 ne divise pas 1806...

[invite1237a629]

J'suis pas très douée pour ce genre de démonstrations :s, on va essayer quand même

Pour montrer l'équivalence dans un sens (=>), écris 1806 en décomposition de facteurs premiers.
Ensuite, tu montreras que si 1806 est divisible par un de ces facteurs premiers, p, alors p-1 divise également 1806. Pour cette démonstration, je ne vois que la solution numérique...

Pour montrer l'autre sens (p-1 divise 1806 => p divise 1806), à mon avis, fais pareil, vois tous les diviseurs de la forme p-1 (donc pairs) et vérifie pour p...

[invite787dfb08]

je vois pas d'autres solutions.... C'est la même que j'ai détaillé plus haut ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Tu as posté pendant que je postais ^^'

Sorry

Edit : par contre, pas trop d'accord avec ta démonstration :/ Il y a un "si et seulement si" à la place d'un "si". Une relation d'équivalence doit être montrée dans les deux sens (sauf s'il s'agit d'égalités bien sûr).
Ton exemple du 19 doit être appliqué pour tous les nombres premiers si tu veux montrer que c'est "seulement si"

[invite787dfb08]

Ah ouais ok, je vois ce que tu veux dire...

[invite425270e0]

Ok, la méthode numérique va bien parce que y'a uniquement 16 diviseurs, mais avec un nombre plus grand ...

[invite425270e0]

De plus, vous montrez que quand alors , et il faut montrer que

[invite1237a629]

Regarde ma démonstration : je te fais les deux sens

Mais un sens est plus ardu que l'autre, car il y aura plus de vérifications à faire.

[invite425270e0]

Ok je vois, mais ça reste numérique , ça va bien pour des petits nombres ^^