Dérivation tangentielle et contour lisse, fct sous harmonique

[inviteab2b41c6]

Allo!

Je me pose une grande question, ca me parrait vrai, mais je suis incapable de le montrer, ou alors je passe complétement à coté.
Quoiqu'il en soit, voici mon problème:

J'ai un ensemble connexe et compact D de R^2, et dont la frontière est lisse (pas d'explication sur le mot lisse, d'après moi, c'est une variété différentielle compacte de dimension 1)

J'ai un problème de Dirichlet à résoudre, et tout va bien, je pense avoir trouvé la solution, sauf qu'à un certain moment j'utilise le fait suivant:


où je prend cette équation sur mon contour, appelons le c.
n est la normale au contour et est la dérivée tangentielle de u.
Cette égalité est bonne dans R^2, il n'y a pas de problème, je l'ai dans mes notes de cours.

Cependant, je suis arrivé à un moment, à prouver que ma fonction prenait son minimum sur le bord en un certain point P. La question que je me pose, est :
Est ce que la dérivée tangentielle de u en P s'annule?
Je pense que oui, comme je le disais, mais j'ai trouvé ca nul part dans mes notes.

Si quelqu'un pouvait me débloquer ce serait sympa.
Notons tout de même, au cas où, que ma fonction u est bien dérivable sur le contour.

Cordialement,
Quinto
ps: je viens d'éditer mon message (titre). Depuis quand ceci est possible?
-----

[invitedf667161]

Salut alors je ne comprends pas trés bien le problème mais j'essaye d'apporter un élément de réponse.

Ce n'est pas parce que une fonction admet un minimum sur LE BORD de son ensemble de définition que ses dérivées (tangentielles ou tout ce que tu veux) s'annulent en ce point.

Contre exemple trés con x -> x sur [0,1]

Ici je pense donc que ta fonction peut être minimale sur le bord sans pour autant que sa dérivé tangentielle soit nulle au point en question.

PS il est possible d'éditer un message jusqu'à cinq minutes après sa première apparition sur le forum.

[inviteab2b41c6]

Salut,
effectivement ton exemple marche, celà étant on est pas dans les conditions d'applications de mon énoncé, ton contour est totalement disconnexe, et tu ne peux pas vraiment défini de dérivée dessus.

Si t'avais un truc sur le cercle, ca m'irait mieux par exemple.

Merci de ta réponse.
A+

[inviteab2b41c6]

Juste pour ajouter une précision, ma fonction est harmonique dans D.
C'est le genre de condition qui peut aider ...

Celà étant j'avoue que je commence à ne plus trop croire en ce que je disais...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf667161]

C'est pas du tout impossible de s'imaginer une fonction réelle harmonique dans le disque qui atteigne un minimum sur le cercle sans que ses dérives soit nulles en ce point

Essaye par exemple celle qui donne comme surface la sphère de R^3, namely :


EDIT : enfin ptêtre je dis une bétise pour l'harmonicité ; d'un coup ça me fit penser au principe du maximum et tout le tintouin. Mais j'espère que tu saisis l'idée de la sphère : la fonction est minimale (=0) sur le disque et pourtant ses dérivées sont pas nulles

[inviteab2b41c6]

Salut,
je ne parle pas de dérivée mais de dérivée tangentielle (je suis peut être borné hein....)

Mon idée serait que si je me ballade sur mon contour dans R^2, je vais me retrouver avec mon minimum P pour ma fonction u, mais c'est un minimum également sur le contour. Donc si je me ballade sur le contour, ca va devenir un minimum local pour le contour, et donc ma dérivée devrait s'annuler.
Comprends tu l'idée?

(ici je ne suis pas dans R^3, mais dans R^2, mais ca ne doit pas faire de différence)

[invite4793db90]

Salut,

si je comprends bien tu considères la restriction (disons f(t)) de u défini sur le bord de ton compact. Dans ce cas on peut choisir f(t) telle que f ' soit la dérivée tangentielle de u. Mais alors f est continue sur le bord qui est compact, donc son image l'est aussi et f atteint ses bornes. Je ne sais pas si à cette heure je raconte encore quelque chose de cohérent mais bon, c'est peut-être une piste...

Bonne nuit.

[inviteab2b41c6]

Salut,
oui effectivement ca marche, mais ca ne me donne rien sur la dérivée f'.
A moins que je ne sois pas assez en profondeur dans le sujet...

[invitedf667161]

Salut,
je ne parle pas de dérivée mais de dérivée tangentielle (je suis peut être borné hein....)

Mon idée serait que si je me ballade sur mon contour dans R^2, je vais me retrouver avec mon minimum P pour ma fonction u, mais c'est un minimum également sur le contour. Donc si je me ballade sur le contour, ca va devenir un minimum local pour le contour, et donc ma dérivée devrait s'annuler.
Comprends tu l'idée?

(ici je ne suis pas dans R^3, mais dans R^2, mais ca ne doit pas faire de différence)

Ah la d'un coup je suis vachement plus convaincu ! Mon exemple avec la sphère va alors dans ton sens puisque la fonction restreinte au bord est constane (=0).

Seulement il faut bien dire que je ne sais pas ce que c'est la dérivée tangentielle. Tu as l'air de dire que ça correspondrait avec en quelque sorte la différentielle de la fonction restreinte au bord, cette différentielle pouvant être définie surement grace à l'hyptohèse de lissitude du bord.

[inviteab2b41c6]

Ah la d'un coup je suis vachement plus convaincu ! Mon exemple avec la sphère va alors dans ton sens puisque la fonction restreinte au bord est constane (=0).

Effectivement, je suis revenu pour te le montrer d'ailleurs.

Seulement il faut bien dire que je ne sais pas ce que c'est la dérivée tangentielle.

Ce n'est pas parce que j'ai assisté au cours que je le sais plus que toi Mais je pense que c'est grad(u).T où T est le vecteur tangent à u et dans la direction de u.

cette différentielle pouvant être définie surement grace à l'hyptohèse de lissitude du bord.

C'est aussi mon idée.

Moi ce qui me convainc vraiment, c'est l'idée que P est un minimum local pour u restreinte au bord. C'est obligé qu'une dérivée bien choisi s'y annule, et je pense justement que c'est la notre...

[invitec314d025]

Il est possible que je dise une bétise, mais ça ne serait pas tout simplement une application des extrema liés ?

[inviteab2b41c6]

Salut,
je suis confus, mais c'est quoi les extrema liés?

[invitec314d025]

Bon, je vais essayer de pas faire d'erreur.
Tu prends deux fonctions f et g C1 de Rn dans R
S = {x / g(x) = 0} avec Dg <> 0 sur S
Si x0 est un extremum de f restreinte à S alors gradient de f en x0 colinéaire au gradient de g en x0

[inviteab2b41c6]

Je ne connaissais pas ce th&#233;or&#232;me, mais je ne vois pas bien comment l'appliquer ici, je ne connais rien sur S dans mon cas.

[invitec314d025]

Ici S c'est ta frontière, g une fontion C1 qui définit cette frontière (qui doit bien exister si c'est une variété), gradient de g en x0 c'est une normale à S, donc gradient de f en x0 colinéaire à gradient de g en x0, ça donne bien dérivée tangentielle nulle.
Non ?

[inviteab2b41c6]

Ici S c'est ta frontière, g une fontion C1 qui définit cette frontière (qui doit bien exister si c'est une variété), gradient de g en x0 c'est une normale à S, donc gradient de f en x0 colinéaire à gradient de g en x0, ça donne bien dérivée tangentielle nulle.
Non ?

Effectivement, ca me semble honnête.

Merci beaucoup.
A+