Fonction continue, compacité, arzélà-ascoli, cube de Hilbert

[inviteab2b41c6]

Salut à tous.
Beaucoup d'entre vous doivent connaitre lK, e cube de Hilbert, sinon ce n'est pas grave, on peut le définir comme l'ensemble des suites de l^2 qui ont leur n-ieme coordonnée, inférieure à 1/n.

Je voulais montrer que ce cube est compacte, et j'ai déjà 2 démonstrations, et une troisième un peu moins bonne.
En fait pour conclure la troisième j'aurai besoin d'un argument que je ne trouve pas, voici mon idée:

Je crée une fonction phi de K vers un sous ensemble des fonctions analytiques sur le disque de centre 0 et de rayon 1/2 de la manière suivante:
pour tout (an) dans K, je lui associe

Par le théorème d'Arzelà-Ascoli ce n'est pas très difficile de montrer que est relativement compact (puis ensuite compact). On montre aussi que l'on a qui est continue et bijective de K dans .
Le problème est que je n'arrive pas à montrer que son inverse l'est aussi. Peut etre n'est ce pas le cas.
Quelqu'un aurait il une idée?

Cordialement,
Quinto
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[invitedf667161]

Peut-être je vais dire une bétise mais je me lance.

Ta phi a l'air linéraire, une application linéaire surjective continue est ouverte ...

[inviteab2b41c6]

Effectivement c'est une bétise

En fait j'avais eu la même idée, mais on a un espace vectoriel ni à l'arrivé ni au départ ...
Peut être en considérant l'espace vectoriel engendré par notre ensemble K de départ, mais on ne sait pas trop ce que l'on va trouver ...