Arithmétique: pour tout nombre premier p, il existe un naturel n tel que p l 6n²+5n+1

[invite46e41aed]

Bonjour,
j'ai un un souci dans l'exercice suivant : "pour tout nombre premier p, il existe un naturel n tel que p l 6n²+5n+1".

Voici mon travail:
je factorise 6n²+5+1 en (2n+1)(3n+1).
Soit p un nombre premier. Soit n un entier naturel.
Supposons que p divise 6n²+5n+1.
d'où p divise 2n+1 ou p divise 3n+1
donc il existe x₁ tel que 2n+1=p*x₁
d'où n=(p*x₁-1)/2.
Je mène le même raisonnement dans le cas où p divise 3n+1. et n=(p*x₂-1)/3.

Mon professeur de mathématiques m'a indiqué qu'il faut une réciproque-qu'elle était simple- mais je ne vois pas qu'est ce qu'il attend.
Merci d'avance.
Cordialement, Nowotny.
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[inviteaf1870ed]

Soit p un nombre premier, par exemple 43, quel est le nombre n tel que p divise 6n²+5n+1 ?

[invite46e41aed]

On peut prendre pour n, 21 ou 14, suivant que p divise 2n+1 ou 3n+1. Je ne vois pas où tu veut en venir

[inviteaf1870ed]

Il me semble que tu as montré la proposition suivante : si p divise 6n²+5n+1 alors p est de la forme truc.
Mais on te demande de montrer que Quel Que soit p, alors il existe n tel que p divise 6n²+5n+1

Si je prends p quelconque, comment trouves tu n ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Pourquoi ne peut on pas tout simplement dire que tout nombre premier est impair ?
Autrement dit, écrire que , (ce que vous avez fait ).
En particulier, on a le résultat pour les nombres premiers.
Du coup, je pense que vous avez raison lorsque vous dîtes qu'il suffit de considérer (et si on considère l'autre facteur en plus, y'a du choix !)

Par contre pour la réciproque, j'avoue ne pas trop voir :/

[invite46e41aed]

Merci pour ton aide,
Si p est impaire alors n=(p*x₁-1)/2 d'où 6n²+5n+1=2*p*x₁*(3n+1) qui est bien divisible par p.
Si p est paire, p=2 et il suffit de prendre n=1.
ça me parait juste. Merci encore

[inviteaf1870ed]

C'est exact. Il fallait néanmoins considérer les deux cas pair et impair.
Cependant j'insiste sur le fait que le raisonnement initial était à moitié fallacieux. En effet il est du type "Analyse-Synthèse" : supposons que la propriété soit vraie, alors quelle condition a t on sur n et p pour qu'elle soit vraie ? RECIPROQUEMENT, supposons ces conditions vérifiées, alors la propriété est vraie. C'est cette "réciproque" qui manquait.

Sans cette réciproque on peut dire des âneries

[invite46e41aed]

Merci encore pour ta réponse complète. Bonne soirée

[invite9e382d96]

on peut proceder par l absurde
supp qu il existe un p tq qlq soit n p ne divise pas 6n²+5n+1
on a p ne divise pas (2n+1) et ne divise pas (3n+1)
donc par theo de bezout on peut montrer qu il existe u et v tq
up=nv
d ou l absurdite
vos remarques sur ce procedes !!

[invited3ffd1c7]

Ce que dit ericcc est tout à fait vrai.

Le plus simple aurait été de "constater" l'hypothèse (ce que tu as fait) et puis de démontrer "par construction" (ce que le prof te demande).

Soit p premier, si p impair alors on pose n=(p-1)/2 (Qui est naturel) et f((p-1)/2) = p[3.(p-1)/2 + 1 ] qui est naturel et de la forme a.n (a naturel) donc p divise ton polynôme (n existe, tu viens de le construire!)

si p pair, alors p = 2 et on pose n = (2p - 1)/3 = 1 f(1) = 12 et 2 divise 12.

Donc dans tous les cas, il existe un entier naturel n (que tu es capable de construire!) tel que p divise f(n).

[invitea0db811c]

Bonjour,

sinon beaucoup plus simple, remarquer que dans le corps à p éléments, le discriminant de 6x² + 5x + 1 vaut 1, qui est un carré. D'où l'existence de solution. Il faut peut-être le vérifier à la main pour p=2 et 3, mais ce n'est pas bien difficile .