Topologie de Rn moins Rm

[Amanuensis]

Bonjour,

Soit n entier et m<n-1 . Prenons Rⁿ et supprimons une sous-variété homéomorphe à R^m et "allant à l'infini" (quand cela s'applique ; je ne sais pas trop comment formaliser cela, en gros le résultat est une variété sans bord), ce que je note Rⁿ - R^m. Par induction sur les petits cas, il semblerait que le résultat soit homéomorphe à S^n-m-1 x R^m+1.

(Par exemple le plan moins un point est homéomorphe au cylindre, cas n=2 et m=0.)

Est-ce correct ? (Et comment le démontrer ?)

[Cela s'étend bien avec la convention S⁰ = {a, b} (doubleton), et même S^-1 = ensemble vide.]

Merci,
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[invite76543456789]

Bonjour!
Tout d'abord il faut montrer le resultat pour R^n-R^m, c'est une simple recurrence, en ayant remarqué que S^nxR=R^{n+1}-{pt}.
Le theoreme du voisinage tubulaire permet d'en deduire le resultat general (encore qu'il faudrait preciser vos hypotheses de manière exacte).

[invite76543456789]

J'imagine ce que vous entendez par aller vers l'infini, vous voulez dire que l'immersion est propre, a vrai dire, j'ai l'impression que ca ne rentre meme pas en compte, et je pense que de toute façon un plongement de R^n dans R^m est toujours propre (a prendre avec des pincettes, je dis ca un peu au jugé)

[Amanuensis]

Je ne sais pas bien ce qu'est "propre" dans le contexte. Mais je cherchais à exclure par exemple la suppression du segment ](0,0), (1,0)[ du plan, ou d'une boule ouverte de dimension 2 de R3.

Il me semble qu'exiger que ce qui reste soit un ouvert de Rn doit marcher.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Je ne sais pas bien ce qu'est "propre" dans le contexte. Mais je cherchais à exclure par exemple la suppression du segment ](0,0), (1,0)[ du plan, ou d'une boule ouverte de dimension 2 de R3.

Il me semble qu'exiger que ce qui reste soit un ouvert de Rn doit marcher.

Au détour de mes recherches sur le web pour trouver le "théorème du voisinage tubulaire", il semble qu'on limite le terme "sous-variété" aux cas de sous-espaces fermés, auquel cas avoir précisé "sous-variété" (au lieu de sous-espace) est la même chose que dire que le reste est ouvert. (Et exclut les deux exemples que je donnais.)

[invite76543456789]

Ok, c'est donc bien propre que vous voulez: l'image inverse de tout compact reste compact. Une bonne partie des auteurs l'incluent d'ailleurs dans la definition de sous variété. D'ailleurs j'ai dit des betises il existe bien des plongements non propre de R^m dans R^n.

[invite76543456789]

Au détour de mes recherches sur le web pour trouver le "théorème du voisinage tubulaire", il semble qu'on limite le terme "sous-variété" aux cas de sous-espaces fermés, auquel cas avoir précisé "sous-variété" (au lieu de sous-espace) est la même chose que dire que le reste est ouvert. (Et exclut les deux exemples que je donnais.)

Tout à fait le theoreme du voisinage tubulaire s'applique aux sous variétés propres.
Peut etre aurais je du preciser l'enoncé de ce thereme tel que je l'entends.
Soit M une variété differentielle de dimension n, et N une sous variété propre de M, de codimension p, il existe alors un voisinage ouvert V de N dans M, qui soit isomorphe au fibré normal de N dans M, et tel que l'inclusion de N dans M, soit tranformée par cet isomorphisme en la section nulle du fibré.
Bien sur dire que la sous variété de R^n est fermée implique qu'elle est propre, un fermé d'un compact est compact.

[Amanuensis]

il existe bien des plongements non propre de R^m dans R^n.

C'est le cas des deux exemples que j'ai donnés, c'est bien ça ?

[Amanuensis]

Soit M une variété differentielle de dimension n, et N une sous variété propre de M, de codimension p (...)

Codimension ? Pourquoi pas "dimension" ?

au fibré normal de N dans M

Base N, fibre homéomorphe à K^p ? (En prenant la codimension, comprise comme n moins la dimension de N.)

[invite76543456789]

C'est le cas des deux exemples que j'ai donnés, c'est bien ça ?

Par exemple oui.

Codimension ? Pourquoi pas "dimension" ?



Base N, fibre homéomorphe à K^p ? (En prenant la codimension, comprise comme n moins la dimension de N.)

Par habitude, la codimension se comporte mieux vis a vis du fibré normal que la dimension, ici ca n'a pas d'importance puisque j'ai supposé M de dimension n, donc N est de dimension n-p, mais si M n'etait pas connexe, et a dimension variable, alors si N est de codimension p, son fibré normal est de rang p (bref rang fibré normal=codimension).
Oui la fibre est bien R^p, notez et c'est important que N etant contractile le fibré normal dessus est trivial et donc le fibré trivial c'est juste R^n.

[Amanuensis]

Un gros doute me vient à l'esprit.

Si je prend R3 et R1, la ligne peut présenter un noeud. Cela reste propre, mais est-ce normal que la topologie du complément soit indépendante de la nature du noeud ?

[Amanuensis]

Après vérification il y a bien un problème. Faut restreindre l'hypothèse a un plongement isotope à l'injection canonique de Rn dans Rm...

[invite76543456789]

Vous avez raison, la paire (R^m,N) n'est pas isomorphe a la paire (U,N) ou U est le voisinage tubulaire, qui lui est bien isomorphe à la paire (R^n,R^m).

[Amanuensis]

C'est votre usage du terme "contractible" qui m'a orienté vers les noeuds ! Merci de l'aide, j'ai l'impression d'avoir bien clarifier mes idées ainsi.

[invite76543456789]

De rien, on a quand meme bien le resultat pour un "voisinage de N", c'est a dire que tout sous variété propre de R^m, isomorphe a R^n, possede un voisinage U tel que U privé de N soit isomorphe a S^{n-m-1}xR^{m+1}. C'est peut etre suffisant pour ce que vous voulez faire. Votre formulation est aussi une autre manière de "sauver" le resultat.

Ps: En francais on dit "contractile", "contractible" etant le terme anglais.

[Amanuensis]

De rien, on a quand meme bien le resultat pour un "voisinage de N", c'est a dire que tout sous variété propre de R^m, isomorphe a R^n, possede un voisinage U tel que U privé de N soit isomorphe a S^{n-m-1}xR^{m+1}. C'est peut etre suffisant pour ce que vous voulez faire. Votre formulation est aussi une autre manière de "sauver" le resultat.

La question vient de mes réflexions sur les trous noirs, une généralisation d'une idée pour vérifier que R2xS2 est homéomorphe à R4-R ; et alors donc pourquoi parle-t-on de deux singularités ? Comme R1 ne peut pas être nouée (en gros) dans R4, ça doit marcher pour ce cas...

[invite76543456789]

Cela marche effectivement pour R dans R^4, c'est un theoreme classique que tout plongement de R dans R^n avec n strictement plus grand que 3 est isotope au plongement naturel de R dans R^n.
En fait il y a quand meme une petit point a soulever, le plongement naturel de R dans R^n (ou plus generalement de R^n dans R^p) est une "cofibration pour les isotopies" (l'analogue d'une cofibration mais pour les isotopies et pas les homotopies), bon j'ai pas ecrit la preuve, mais ca me semble assez simple.
Ainsi il suffit de regarder les classes d'isotopie de plongement de R^k dans R^m, et ca permet d'en classifier une bonne partie.
En particulier pour R dans R^4, il n'y a qu'un seul plongement a isotopie pres, et donc comme R dans R^4 est une "iso-cofibration" (si je peux me permettre), le complementaire est bien isomorphe a ce que vous voulez.
Si je ne me suis pas planté, les cas vraiment problematique c'est R^n dans R^k avec k<2n+1 pour n>1, et R dans R^3 (R dans R^2 c'est facile).
On peut meme aller plus loin une utilisant le théorème d'Haeflinger, si k est la partie entiere de (n-2)/2, alors pour tous les m plus grand que 2n-k+1, tous les plongements sont isotopes, par exemple les plongements de R^4 dans R^8 sont tous isotopes.

Comme toujours les cas problematiques sont ceux de petite dimension.