continuité et dérivabilité

[invite69c4bb19]

j'ai à étudier une fonction f dont le domaine de definition est R . par l'association de 2 fonction une dont la valeur interdite de f(x) est 0 . Et f(0)=1
f(x)=(e^x -1)/ x
soit f(x) une fonction strictement croissante avec une discontinuité en x=0
mais vu que f(x) est associé à f(0)=1 elle est donc continue sur R (?)
mais est t'elle dérivable en 0
je dois dire si graphiquement si il est possible d eprévoir si elle est dérivable en 0
moi je dirai que oui et qu'elle est effectivement dérivable en 0

mais qd je fais le calcul lim(x->0)( f(x) - f(o)) / (x-0)
je trouve + l'infini donc qu'elle n'est pas dérivable en + infini

donc je ne sais pas trop si il faut se fier à mon calcul (qui est peut etre faux) ou au graphique?
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[invite69c4bb19]

en fait les questions son respectivement
-rappeller la def de f est derivable en 0
-par observation graph peut on prevoir si f est derivable en 0
-en apporter la preuve

[matthias]

moi je dirai que oui et qu'elle est effectivement dérivable en 0

moi aussi.

mais qd je fais le calcul lim(x->0)( f(x) - f(o)) / (x-0)
je trouve + l'infini donc qu'elle n'est pas dérivable en + infini

dérivable en 0 ce sera mieux, parce qu'en + infini, ça ne veut pas dire grand chose.

donc je ne sais pas trop si il faut se fier à mon calcul (qui est peut etre faux) ou au graphique?

plutôt au graphique.
Et refaire le calcul ...
Tu trouves bien une dérivée de 1/2 graphiquement ?

[invite69c4bb19]

bon j'expose mon calcul
une fonction g est derivable en xo
alors lim (x->xo) (g(x)-g(xo))/(x-xo) appartient à R
mais je ne sia spas vu qu'ici la fonction f n'est pas une fonction habituelle..bref j'ai fais :
lim (x->0) (f(x)-f(0))/(x-0)
=lim (x->0) (f(x)-1)/(x)
=lim (x->0) (e^x -x-1)/(x²)
=lim (x->0) ((e^x)/x -1-1/x)/(x)= + inf
car lim (x->0) e^x /x = + inf
non??

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

une fonction g est derivable en xo
alors lim (x->xo) (g(x)-g(xo))/(x-xo) appartient à R

C'est plutôt : si la limite de ton expression existe alors g est dérivable en 0 de dérivée la limite en question.

=lim (x->0) ((e^x)/x -1-1/x)/(x)= + inf
car lim (x->0) e^x /x = + inf
non??

et lim (x->0) -1/x = -inf donc tu as une forme indéterminée +infini -infini, tu ne peux pas conclure comme ça.

[invite69c4bb19]

ou est ce que je pourrait justifier en disant que f est continue sur R donc peut etre derivable en 0
et commme f eest croissante (au moins aux alentours de 0) donc elle est derivable
?
au lieu de faire des calculs?

[matthias]

Non ce que tu dis est faux. f peut être continue et croissante sur R sans être dérivable.
Prends la fonction f définie comme ceci:
f(x) = x si x < 0
f(x) = x/2 si x >= 0
elle est continue et croissante sur R mais pas d&#233;rivable en 0.

[invite69c4bb19]

a ton avis que devrais je faire pour prouver que f est dérivable en 0
est ce que si je prouve que
limite x tend vers0+ (f(x)-f(0))/(x-0)=lim0- (f(x)-f(0))/(x-0)
alors c'est bon car si ça peut etre fais c'est bon car f est defini en 0 donc
limite x tend vers0+ (f(x)-f(0))/(x-0)=lim0- (f(x)-f(0))/(x-0) =lim0 (f(x)-f(0))/(x-0)
??
là je m'embrouille le fait d'avoir 2 fonctions...

[matthias]

Quel est ton niveau ? Connais-tu les développements limités ou les formule de Taylor ?

[invite69c4bb19]

je suis en TS et là je suis qu'au chapitre exponentielle
connais pas "les développements limités ou les formule de Taylor "

[invite69c4bb19]

lim ((e^x -1)-1)/x= lim e^x -1 x->0 x x->0 x

=lim e^x =1
x->0

or graphiquement c'est egal à 1/2?
raisonnement faux?

[invitef4d4c95a]

il faudrait déjà s'entendre sur l'énoncé de ton équation , tu ne penses pas !


e^(x-1) ?
_____

x

[invite69c4bb19]

eu..non c'était
e^x -1
x

merci mais là ça y est j'ai enfin trouver un truc
une relation par rapport à l'énoncé que je vais admettre!
donc ça y est (enfin!) c'est fini