Petites question de probabilités...distribution

[invite9d84f621]

Bonjour à vous,

En préparant mes prochains examens, j'ai un petit exercice qui me pose problème, voici l'énoncé :

Un groupe de 11 étudiants arrive dans un ordre aléatoire (et uniforme) pour former une file. Donnez la distribution de la distance entre deux amis MARC et FRED de ce groupe.

Je suis parti dans l'idée de considérer un univers O = {(x1,x2...,x11) avec xi € {0,1} } considèrant alors par exemple que dans un onze-uplet il y a deux éléments valant 1 caractérisant les deux amis (c'est une idée de départ je sais pas si elle est bonne ...), je ne sais pas très bien ce qu'ils appellent distribution mais je pense que c'est l'ensemble des distances possibles entre les deux amis donc 0<= D <= 9 (9 étant la distance maximal, 9 personnes entre eux deux). A partir de là, je bloque,je sens qu'il faut considérer une certaine symétrie du problème.

Merci d'avance.
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[inviteea028771]

Il s'agit en effet de donner la distribution des distances pour deux personnes choisies au hasard.

Le plus simple, c'est de compter le nombre de configurations qui correspondent à chaque distance.

Par exemple, il n'y a qu'une seule configuration ou la distance entre les deux amis vaut 11 (je prends pour distance |i-j|, avec i le numéro du dernier et j le numéro du premier), alors qu'il y a 10 configurations ou la distance entre les deux amis vaut 1

Reste à toutes les compter, ce qui est assez simple (faire un petit dessin).

On peut alors déterminer P(d=1), ..., P(d=11)

[gg0]

Bonsoir.

On peut faire aussi un tableau à double entrée avec les 11 positions en horizontal (place de Marc) et en vertical (place de Fred);on élimine la diagonale puisque les deux ne peuvent être à la même place. Chacune des cases a la même probabilité, et on marque dans les cases la valeur de |x-y| (de 1 à 10, et pas 11), car on ne va pas donner une distance 0 quand ils se suivent. Il ne reste plus qu'à compter.

Cordialement.

[Amanuensis]

Il y a une très forte symétrie dans le problème, qu'on peut exploiter pour avoir rapidement le résultat (il me semble).

Je ne sais pas si c'est une bonne chose que je l'expose, je ne trouve pas moyen de donner seulement un indice suffisant, l'explication revient à résoudre l'exercice.

Indices qui vont paraître abscons : mettre la file en cercle, raisonner sur la distance sur le cercle, puis sur la position de la "coupure" du cercle.

[A voir en vidéo sur Futura]