Bonjour tout le monde j'ai une question qui me turlupine...
Si j'ai une surface dans IR^3 z=f(x,y) je peux calculer le gradient en un point mais le vecteur gradient lui n'est que dans IR^2 alors comment obtenir le vecteur normal en un point? J'a toujours pensé que c'était similaire sans trop me pencher dessus!
Merci de votre aide!
Le gradient correspond à la ligne de plus grande pente sur la surface.
C'est le vecteur sur R2 projection de la normale à la surface z, normale orientée vers les z négatifs.
Comprendre c'est être capable de faire.
donc si on trouve gradf(P)=(1;2)
on a un vecteur normal en P n=(1;2;-1) ? c'est aussi simple que cela?
Pas tout simplement, il faut normaliser votre vecteur, sachant que si la norme du grad vaut 1, la surface est inclinée à 45°, la norme du gradient est donc la tangente de l'angle que fait la normale avec l'axe z.
Comprendre c'est être capable de faire.
Le vecteur que vous donnez n'est pas normalisé, mais c'est bien un vecteur normal. Pour le démontrer il suffit de considérer le potentielEnvoyé par victorjung
qui s'écrirait V = f(x,y) - z
Ce potentiel admet la surface comme équipotentielle zéro, et son gradient en trois dimensions est un vecteur identique au gradient de f suivant x et y, et de composante -1 en z.
Comprendre c'est être capable de faire.
bonjour,
1) je ne comprends pas pourquoi le vecteur normal et le gradient sont parallèles ? est ce toujours vrai ? pourquoi ?
2) sur wikipedia on trouve une démonstration assez étrange où on dit que si df = 0 = grad f \cdot dl => les deux vecteurs sont perpendiculaires donc le gradient est bien normal.
Je ne saisis pas pourquoi.
3) Il est aussi dit que c'est un corollaire direct du théorème des fonctions implicites...?
4) Notamment sur d'autres post il est dit que trouver la normale à une fonction n'a pas de sens sauf si on pose f(x) = cst. Pourquoi?
5) Si quelqu'un pouvait m'expliquer. Par ailleurs je ne comprends pas les calculs des messages précédents... si il était possible de les refaire de façon plus détaillé
merci !
Dernière modification par sleinininono ; 28/04/2018 à 23h10.
Bonjour.
Comme dit ci-dessus, il ne faut pas confondre les différentes notions appelées gradient. "Le gradient" n'existe pas, c'est toujours un vecteur gradient de ceci ou cela. Revois les théorèmes que tu cites avec toutes leurs hypothèses.
Cordialement.
qu'est ce que tu ne saisis pas? pourquoi df=0 sur une équipotentielle? pourquoi df = grad f . dl ? ou pourquoi le fait que grad f.dl = 0 implique que grad f est perpendiculaire à dl ?
est ce que ça te parais normal que la ligne de plus grande pente soit normale aux courbes de niveaux sur une surface par exemple ?
Bonjour,
Si f est une paramétrisation de la surface, le plan tangent enest engendré par
bonjour ! merci pour vos réponses.
Je débute dans l'analyse vectorielle et si j'ai bien compris le gradient correspond à un vecteur qui dérive dans la direction chacune des composantes.
Donc c'est une application de R^n dans R^n qui associe à chaque composante sa dérivé directionnelle.
Pouvez vous déjà me confirmer ma définition ? (comme Gg0 a l'air de dire qu'il y a plusieurs définitions).
Ainsi, on peut calculer le gradient de fonctions suffisamment bien définie.
A partir de là si je dessine ma fonction, je peux trouver un vecteur normal en tout point. Après reflexion dans le cas R dans R : le vecteur normal va alors être donné par l'inverse de l'opposé de la dérivé : si on a une fonction f : x -> f(x) = y on a :
le vecteur normal est donné par - dy / dx (et je crois c'est différent du gradient? )
Enfin en réfléchissant sur des fonctions en physique, oui l'aspect que le gradient représente la plus haute pente me parait tout à fait juste (surtout pour la compréhension des théoremes de la divergence de stokes etc...) mais mathématiquement je ne le vois pas.
C'est globalement tout ce que je sais et ais pu déduire seul sur l'aspect vecteur normal. J'imagine mais ne connais pas la notion de plan tangent, surtout que vous parlez d'une paramétrisation de surface donc j'imagine que nous sommes dans un cas où f(x) = constante (qui est donc encore un autre cas).
Enfin je ne sais pas ce qu'est qu'une équipotentielle...
donc pour résumer j'aimerais bien comprendre la relation entre gradient et vecteur normal avec une démonstration si possible et ce que cela vient faire dans le théoreme des fonctions implicites... Par ailleurs je ne vois pas pourquoi parfois on dit qu'il faut que la fonction paramétrise un ensemble ( grâce au = 0 ) et parfois non. Je veux dire le gradient dans ma définition ne demande nullement cela...
merci!
Dernière modification par sleinininono ; 29/04/2018 à 13h08.
hum, pas vraiment.
D'abord le gradient dans sa définition la plus simple s'applique à un champ scalaire, pas à un champ vectoriel, autrement dit une simple fonction f(x,y,z) (ou f(x1,x2...xn) en dimension n) . il n'y a pas donc "chacune des composantes" à dériver car il n'y en a qu'une (définition d'un scalaire). En revanche le résultat après application du gradient est bien un vecteur. donc ce serait plutot de IR dans IR^n. Mais ce n'est même pas ça , car un "champ", ce n'est pas juste "un" nombre, mais une infinité de nombre (un en chaque point), donc c'est déjà au départ une application de IR^n dans iR . donc le gradient associe à un champ scalaire (donc à une application de IR^n vers IR) , un autre champ qui lui est vectoriel (donc une application de IR^n dans IR^n).
On peut généraliser le gradient à des êtres "vectoriels" ou "tensoriels" de dimension supérieure, mais ça fabrique à chaque fois un champ avec un indice de plus donc de dimension +1 . gradient d'un vecteur = tenseur d'ordre 2; gradient d'un tenseur d'ordre 2 : tenseur d'ordre 3, etc, etc ... (puisqu'à chaque fois on doit dériver par rapport à chacune des coordonnées).
le gradient n'a pas d'intérêt pour une fonction d'une seule variable (c'est juste la dérivée df/dx). Il ne s'agit pas de la normale à la courbe y = f(x) comme tu as l'air de croire. Le gradient est intéressant pour les fonctions de plusieurs variables f(x1,x2...xn). ce n'est pas très simple à représenter des que n>2. Pour n=2, on peut le représenter par une surface z=f(x,y). Mais ce qui compte ici, ce sont les "courbes de niveaux" c'est à dire les ensembles ou f(x,y) = constante (sur une carte IGN, ce sont donc les courbes de niveaux habituelles à altitude constante). Le gradient est alors un vecteur (∂f/∂x, ∂f/∂y) : sur la carte IGN, c'est un vecteur à deux dimensions, et ce vecteur est normal à la courbe de niveau. En effet si tu suis une courbe de niveau, f est constante donc df= 0 et donc df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy = 0 ce qui montre bien que le vecteur gradient (∂f/∂x, ∂f/∂y) est normal à (dx, dy) qui est le déplacement le long de la courbe de niveau.A partir de là si je dessine ma fonction, je peux trouver un vecteur normal en tout point. Après reflexion dans le cas R dans R : le vecteur normal va alors être donné par l'inverse de l'opposé de la dérivé : si on a une fonction f : x -> f(x) = y on a :
le vecteur normal est donné par - dy / dx (et je crois c'est différent du gradient? )
Sur la carte, le gradient t'indique la direction de la ligne de plus grande pente, c'est à dire là ou ça monte le plus : perpendiculairement aux lignes de niveau (c'est intuitif en montagne non? si tu suis un sentier horizontal, là où ça monte le plus, c'est perpendiculairement au sentier !).
A 3D , les équipotentielles f(x,y,z) = constantes sont des surfaces , et le gradient est perpendiculaire à ces surfaces. Exemple simple : l'énergie potentielle mgz , les équipotentielles sont des surfaces = plan horizontaux z = constante, et le gradient est le vecteur (0,0, mg) qui est dans ce cas là vertical donc bien perpendiculaire aux surfaces (c'est juste l'opposé du poids).
Dernière modification par Archi3 ; 29/04/2018 à 16h52.
merci pour cette réponse.
Des petites précisions :
"le gradient n'a pas d'intérêt pour une fonction d'une seule variable (c'est juste la dérivée df/dx). Il ne s'agit pas de la normale à la courbe y = f(x) comme tu as l'air de croire". Je comprends pas la phrase. Est ce que de R dans R le gradient ne représente bien pas la normale ? Je pense que en comprenant le cas simple de dimension 1 j'arriverai à étendre ensuite à des variétés de dimensions 1 quelconque mais pour l'instant même une droite simple me pose probleme.
Ensuite tu dis que selon une courbe de niveau df = 0. Quand tu parles de df tu parles de la différentielle ? donc du gradient ?
Ensuite cela ne me semble pas évident que selon une ligne de niveau df valent 0 (c'est peut être ma définition de df qui est fausse) mais au contraire d'une dérivé directive, il faudrait que dans n'importe quelle direction on ait une dérivé nulle. Et c'est évident que dans le cas d'une courbe de niveau, la fonction n'est constante que selon une direction (celle de la courbe de niveau).
(En re reflechissant à la question) il est évident que si on prend une variété de dimension n-1 et qu'on trace une courbe de niveau (donc en gardant la n-ième coordonnée constante ) le gradient pour tous ces points sera normal. Mais je ne vois pas comment on peut étendre ça à un cas général. Je veux dire il y a UN cas particulier où le gradient est bien parallèle à la normale mais c'est tout? Dans un cas générale sans ligne de niveau ce ne serait pas possible si?
Pourquoi df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy = 0 ?
et j'imagine que l'on a un produit scalaire entre les deux et donc oui évidemment en supposant cela vrai le gradient est bien normale à la surface...
une courbe de niveau c'est une équipotentielle?
merci pour l'exemple d'energie potentielle il est très parlant. En prenant plus en détail cet exemple, si on calcule le gradient de (a,b,c) on trouve effectivement bien (0,0,mg) mais dans cet exemple qu'est ce que df ?
Dernière modification par sleinininono ; 29/04/2018 à 20h07.
" Je comprends pas la phrase."
Et si tu apprenais une définition du gradient (du gradient de ce que tu veux, mais vraiment une définition). Puis tu nous dis de quoi tu parles, de quoi tu veux le gradient et comment c'est défini. On pourra parler de ce que tu connais.
Pour l'instant tu parles dans le vide (*) et la très bonne réponse de Archi3, qui parle du gradient des champs scalaires (il l'explique doucement) ne t'est même pas accessible : Tu ne sais pas de quoi il parle et tu restes dans des idées floues qui te sont passées par la tête.
Donc par politesse pour les intervenants, cherche de quoi tu veux parler précisément, puis explique.
Cordialement.
(*) " Est ce que de R dans R le gradient ne représente bien pas la normale ? " ??? Ta phrase n'a pas de sens, elle ressemble à de la reprise de travers de phrases de mauvaise vulgarisation !! C'est aussi bizarre que tu ne déduises pas immédiatement df=0 de f(x,y)=Cte. En comprenant qu'il s'agit bien de la différentielle (C'est en première qu'on voit que la dérivée d'une constante est nulle). Et la généralisation de la dérivée pour des fonctions de plusieurs constantes est une base si on veut parler de gradient.
Mais wow je sais juste pas comment le dire autrement ! Oui je mexprime mal parceque je ne comprends pas bien la notion ! C'est justement à ça que servent les kholles. Voir si leleve sexprime clairement cad si il a compris. Là je ne comprends que moyennement donc je ne vais pas mexprimer clairement.
Mais je sais que si f' vaut 0 la fonction est une constznte(TFCI) mais tu comprends gg0 que je ne vois pas le rapport ici ? Je ne peux pas etre plus respectueux que ce que je suis. Si pour toi etre respectueux cest comprendre eh bien tu es vraiment un intervenant pathetique et très mauvais désolé. Je suis ici pour des reponses et pas pour des insultes de ta part.
bon du calme, manifestement effectivement sleinininono ne comprends pas des notions élémentaires; mais ce n'est pas une raison pour lui en vouloir ...
non, à une dimension le gradient serait df/dx ex (dirigé selon Ox), et n'a rien à voir avec la normale de la courbe y = f(x) . une seule variable -> variété de dimension 1 -> gradient dans une seule direction. Par exemple dans une énergie potentielle V(x), la force est -Grad V et est toujours suivant ... la direction Ox.
donc comme je l'ai dit, en dimension n=1 le gradient est dans une seule direction et sa direction n'a aucune signification. Une "équipotentielle" f(x) = constante se résume en fait à x=constante donc ... à un seul point. La "normale" n'a pas vraiment de signification (le dl est toujours le vecteur nul donc la condition de normalité est triviale). Le cas n= 1 est trop trivial pour te faire comprendre quoi que ce soit. Les informations intéressantes commencent à n=2.Je pense que en comprenant le cas simple de dimension 1 j'arriverai à étendre ensuite à des variétés de dimensions 1 quelconque mais pour l'instant même une droite simple me pose probleme.
je parle "en physicien" de df comme la variation de f quand on se déplace de dl. Si f est constante sa variation est nulle. Quand tu marches sur une courbe de niveau en montagne (un sentier localement horizontal), ton altitude ne change pas donc dz = 0.Ensuite tu dis que selon une courbe de niveau df = 0. Quand tu parles de df tu parles de la différentielle ? donc du gradient ?
ben c'est bien pour ça que df = 0 suivant cette direction. L'écriture df = 0 peut prêter certes à confusion car elle ne signifie pas que la différentielle df est identiquement nulle dans toutes les directions (ce qui voudrait dire que f= constante), mais seulement dans la direction dl particulière tangente à la variété (hypersurface de dimension n-1 ) d'équation f(xi) = constante. (Hypersurface se ramenant à une courbe pour n=2 ou a un point pour n=1).Ensuite cela ne me semble pas évident que selon une ligne de niveau df valent 0 (c'est peut être ma définition de df qui est fausse) mais au contraire d'une dérivé directive, il faudrait que dans n'importe quelle direction on ait une dérivé nulle. Et c'est évident que dans le cas d'une courbe de niveau, la fonction n'est constante que selon une direction (celle de la courbe de niveau).
il y toujours des variétés correspondant à l'équation f = constante, ce sont des variétés de dimension n-1, et le gradient est toujours un vecteur normal à ces variétés en tout point !(En re reflechissant à la question) il est évident que si on prend une variété de dimension n-1 et qu'on trace une courbe de niveau (donc en gardant la n-ième coordonnée constante ) le gradient pour tous ces points sera normal. Mais je ne vois pas comment on peut étendre ça à un cas général. Je veux dire il y a UN cas particulier où le gradient est bien parallèle à la normale mais c'est tout? Dans un cas générale sans ligne de niveau ce ne serait pas possible si?
Pourquoi df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy = 0 ?
la première égalité est la définition de df, et la deuxième est une conséquence du fait qu'on se déplace à f= constante. Ce que dit cette équation, c'est que si dl est tel que f= constante (donc parallèle à une surface équipotentielle) alors dl est perpendiculaire au gradient. Donc le gradient est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles d'équation f(xi) = constante.
ben oui c'est ce qu'on se tue à te répéter.
et j'imagine que l'on a un produit scalaire entre les deux et donc oui évidemment en supposant cela vrai le gradient est bien normale à la surface...
oui dans le cas n=2, les équipotentielles sont de dimension n-1 = 1, ce sont donc des courbes ...une courbe de niveau c'est une équipotentielle?
(à 3D ce sont des surfaces bidimensionnelles, cf par exemple les équipotentielles d'un champ électrostatique- qui est le gradient de V donc normal à ces équipotentielles)/
Archi3,
es-tu sûr que tu parles de la même chose que Sleinininono ? Tu as une idée précise, mathématique en tête. J'ai la même. De ce fait, je comprends parfaitement de quoi tu parles.
Cordialement.
Olala je viens de comprendre merci infiniment. C'est vraiment clair maintenant.
Et donc comment fait-on pour trouver un vecteur normal pour une fonction f(x,y) = z ? on obtient un vecteur à deux coordonnées (x,y) et il en faut encore une troisième.
Enfin pourriez vous me dire pourquoi le fait que grad f soit normal au plan est un corollaire du thrm des fonctions implicites comme mentionné ici (http://epiphys.emn.fr/spip.php?article220 dans le premier ce qu'il faut retenir trait rouge sur la gauche) ?
encore merci, vraiment!
Je ne sais pas ce qu'est un vecteur normal pour une fonction.
Si tu parles de la surface d'équation :
À cette fonction
Ce champ de vecteurs est défini en tout point où la fonction
C'est clair merci gods breath. Et finalement pour le theoreme des fonctions implicites ?
En es tu sûr ? La géométrie réelle est plus malicieuse que la géométrie complexe.
Par exemple dans le plan réel,
Plus generalement tout variété affine réelle, et je devrais dire, les points réels d'une variété affine réelle, d'ailleurs, est une ""hypersurface" algébrique" i.e peut être définie par une unique équation. Mais elle n'est pas de codimension 1 dans R^n.
Bon, c'est un détail.
Dernière modification par AncMath ; 30/04/2018 à 10h48.
