Exercice équation différentielle

invitec12bce47 · 30/04/2018, 16h36

Bonjour à tous,

J'ai énormément de mal à résoudre cet exercice (voir pièce jointe). J'ai essayé pas mal de choses mais rien de concluant. Auriez-vous une idée de comment faire ?

Merci d'avance.

invite57a1e779 · 30/04/2018, 21h24

Bonjour,

Il s'agit tout simplement d'une équation différentielle à variables séparables.

La fonction $\text{[math]}$ est continue, donc admet des primitives, et je note $\text{[math]}$ une de ces primitives.

Si la fonction $\text{[math]}$ ne s'annule pas, alors la fonction $\text{[math]}$ est définie et continue, donc admet des primitives, et je note $\text{[math]}$ une de ces primitives.

On obtient alors, pour la fonction $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

puis, par primitivation de cette dernière relation : $\text{[math]}$

De même, pour la fonction $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

Finalement les fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ satisfont : $\text{[math]}$

dont on déduit : $\text{[math]}$

Du fait que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont distincts, le théorème de Rolle assure que la dérivée $\text{[math]}$ s'annule entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , ce qui est impossible puisque, par définition même de $\text{[math]}$ , sa dérivée est : $\text{[math]}$ .

On conclut, par réduction à l'absurde : $\text{[math]}$ .

invitec12bce47 · 30/04/2018, 21h30

Bonsoir God's Breath,
Merci beaucoup, j'avais fait la même chose au début mais n'avais pas du tout pensé au théorème de Rolle pour conclure !

Bonne fin de soirée.

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