exercice équation différentielle

[invitedb34050e]

Bonjour
Je me bloque sur cet exercice donc je sollicite votre aide:
soient a et b deux applications continues sur R tel que a impaire et b paire. Montrer que l'équation différentielle : y'+a(x)y=b(x) admet une unique solution impaire.
Merci d'avance^^
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[invitedb34050e]

J'ai commencé comme suit:
soit f solution de l'équation donc f'(x)+a(x)f(x)=b(x)
et f'(-x)+a(-x)f(-x)=b(-x) alors -f'(-x)-a(x)f(-x)=b(x)
d'où f'(x)+a(x)f(x)=-f'(-x)-a(x)f(-x)
Mais je ne sais pas quoi faire après ..

[invitef3414c56]

Bonjour,

Je vous donne des indications.

a) Je suppose d'abord que votre cours vous dit qu'il existe des solutions. Soit g l'une d'entre elle. Ecrivez que g(x)=f1(x)+f2(x), avec 2f1(x)=g(x)+g(-x) (f1 est paire) et 2f2(x)=g(x)-g(-x) (f2 est impaire). Montrez que h(x)=f1'(x)+a(x)f1(x)=b(x)-f2'(x)-a(x)f2(x). La fonction h est-elle paire ? impaire ? les deux ? Conclusion ?

b) Je suppose qu'il y a deux fonctions impaires solutions, v1 et v2. Soit v=v1-v2. La fonction v est-elle paire ? impaire ? que vaut v(0) ?. De quelle équation différentielle v est-elle solution ? Etant donné un réel y_0, y_a-t-il beaucoup de solutions de cette équation différentielle telles que sa valeur en 0 est y_0 ?

Cordialement.