Borner les moments statistiques

[invitee3a2ba33]

Salut à tous,
Soient :
> n dans N*
> (Pi) une suite quelconque dans [a, b] inclus dans R, 1 <= i <=n.
> m = (P1+...+Pn)/n // la moyenne
> d = (((P1-m)^2+...+(Pn-m)^2)/n)^(1/2) // l'écart-type
> s = (((P1-m)^3+...+(Pn-m)^3)/n)^(1/3) // le coefficient de dissymétrie

comment borner ces moments statistiques d'une façon stricte en fonction de a et b ?

Merci.
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[KerLannais]

Tu as les encadrements suivants qui sont optimaux:

le maximum (resp. minimum) est atteint lorsque toutes les valeurs sont égales à (resp. ).



Dans les deux cas le minimum est atteint lorsque toutes les valeurs sont égales entre elles (et donc égales à la moyenne) et le maximum est atteint lorsqu'il il y a un nombre pair de valeurs et que la moitié des valeurs sont égales à et que l'autre moitié des valeurs sont égales à . Je peux te donner la démonstration de ces encadrements si ça t'intéresse mais c'est juste un exercice classique d'optimisation avec contrainte.

[invitee3a2ba33]

Merci pour la réponse,
En effet j'aimerais bien avoir la démonstration.

[KerLannais]

Re bonjour,

Je suppose que tu n'a aucun soucis pour encadrer la moyenne et il est évident que l'écart type et le coefficient de dissymétrie sont positifs ou nuls. Le plus intéressant est de montrer la majoration. On va fixer une valeur de et une valeur de moyenne quelconques et montrer que l'on peut trouver des majorants indépendants de et . Regardons d'abord l'écart type. On regarde la fonction à variables qui à associe

et on cherche le maximum de cette fonction avec la contrainte

Si on note

et

alors cette contrainte se note

Puisque la fonction est une fonction continue elle atteint son maximum sur le compact

Montrons que ce maximum n'est pas atteint à l'intérieur de ce compact et qu'il se trouve sur le bord. Si le maximum était atteint à l'intérieur, c-à-d si le maximum était atteint pour un certain , alors d'après le principe des extrema liés en un tel point le gradient de : doit être colinéaire au vecteur qui défini la contrainte. Cela implique que toutes la composantes de ce gradient sont égales entre elles et donc:

Or la somme de ces quantités est nulle d'après la contrainte:

Toutes ces quantités sont donc nulles et on a

et

Il s'agit bien d'un extremum mais c'est un minimum et pas un maximum. Le maximum est donc atteint sur le bord, cela signifie que l'un au moins des est égal à ou à . Quitte à renuméroter les (changer l'ordre des ne change pas la valeur des moments) on peut supposer que . On se ramène donc à chercher le maximum de

avec la contrainte

et une démonstration identique montre que ce maximum est encore atteint sur le bord. Ainsi, par récurrence, le maximum de notre problème de départ est atteint en un (chacune des composantes de est égales soit à soit à ). A partir de là c'est facile. On note le nombre de composantes de qui sont égales à , les composantes restantes sont égales à . On notera également

On a alors la moyenne qui vaut

et la variance qui vaut

Le maximum sur de la fonction définie par

est atteint en et vaut . Le maximum de la variance est donc atteint lorsque (c-à-d lorsque la moitié des composantes de est égale à et l'autre moitié à ce qui n'est possible que lorsque est impair) et il vaut

L'écart type maximum est donc

Pour le dernier moment la démonstration est analogue (elle est légèrement plus compliquée mais la démarche est la même) en regardant cette fois-ci la fonction

Tu peux donc essayer de faire cette démonstration en exercice pour vérifier que tu as bien compris la démonstration précédente.

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Re

Je viens de me rendre compte qu'il y a un argument immédiat pour montrer que le maximum est atteint sur le bord pour le cas de la majoration de l'écart type il suffit juste de remarquer que la fonction f est convexe ce qui est évident

[gg0]

Bonjour KerLannais.

Tu es vraiment sûr que le moment d'ordre 3 est positif ?
Pour moi, je soupçonnais que son signe donne le sens de la dissymétrie.

Cordialement.

[gg0]

Autre chose :

Tu es parti en fixant la valeur m, or elle ne peut pas être fixe si tu fais varier les P_i dans l'ensemble de l'intervalle [a,b]. Ou bien si m est fixé, les valeurs des P_i ne sont pas indépendantes.
Par exemple, si [a,b]=[0;3] et n=3, les seules moyennes possibles pour des valeurs 0 ou 3 sont 0, 1,2 ou 3. Donc si la moyenne est fixée à 1.3, il n'est pas possible de dire que le maximum est atteint pour des valeurs égales soit à 0 soit à 3.
Il y a sans doute une faille quelque part dans ta preuve, je te laisse la trouver.

Cordialement.

[gg0]

A noter : je ne remets pas en cause la conclusion. L'étude du cas n=3 montre que le maximum est bien atteint pour des valeurs extrêmes.

Cordialement.

[invitee3a2ba33]

Merci pour les réponses, en effet de mon coté j'ai essayé de résoudre le problème mais sans preuve mathématique rigoureuse :

> Pour la moyenne il suffit de prendre tout les termes a ou b pour avoir a <= m <= b.

> Pour l'écart-type il faut prendre une suite avec un nombre paire de termes où la première moitié = a et la seconde moitié = b, étant donnée que la moyenne dans ce cas sera au milieu, les valeurs Pi serons +/-(b-a)/2 et comme le tout est au carré le résultat sera (b-a)/2. Pour le min il suffit que tout les termes soient identiques. Conclusion 0 <= d <= (b-a)/2.

> Pour le coefficient de dissymétrie c'est un peu difficile, il admet des valeurs positives et négatives, on peut le borner grossièrement comme ça : -(b-a)/2 <= s <= (b-a)/2, mais je n'ai pas pu trouver un exemple où ces bornes sont atteintes.

[KerLannais]

Re bonjour,

Oui effectivement le coefficient de dissymétrie peut changer de signe. Cela ne change rien à la démonstration (que du coup je n'ai pas donnée ici) sauf que l'encadrement n'est pas le même, le minimum est .
J'ai vu sur Wikipédia une autre définition de ce coefficient:

auquel cas l'encadrement et la démonstration ne sont pas les même Mais bon je m'en tiens à la question posée.

@ gg0:

si m est fixé, les valeurs de ne sont pas indépendantes

C'est précisément la raison pour laquelle j'utilise le principe des extrema liés (maximisation avec contrainte, la contrainte étant justement la relation de dépendance linéaire des ). Je ne dis pas que c'est impossible de faire le calcul sans fixer la moyenne mais il me semble que le calcul du gradient de la fonction (dans laquelle on remplace la moyenne par son expression en fonction des ) est plus compliqué et donc trouver les endroits où le gradient s'annule n'est pas simple (encore que je n'ai pas essayé je l'avoue ). Le fait de fixer la moyenne n'est pas génant à partir du moment ou le majorant trouvé ne dépend pas de et que la démonstration marche pour toutes les valeurs de . Par contre je suis d'accord que la rédaction est assez négligée (par fainéantise). Mais cela reste correct même s'il manque des détails. Par exemple pour montrer que le maximum est atteint en un sommet du pavé j'évoque une récurrence que je n'ai pas du tout rédigée et je triche un peu à ce niveau là. En effet dans ma démonstration j'utilise le fait que le dans l'expression de est effectivement la moyenne des variable de (pour montrer que les composantes du gradient en un point critique intérieur sont nécessairement nulles). Or lorsque l'on supprime la variable , la moyenne dans la définition de ne change pas et elle ne correspond plus à la moyenne des variables restantes. La démonstration pour les autres étapes de la récurrence n'est donc pas exactement identique comme je l'ai affirmé. Toutefois il suffit de faire une légère adaptation pour que ça fonctionne. Sinon je ne pense pas avoir trop triché (enfin je me trompe peut-être, il faudrait que j'essaie de le rédiger de façon irréfutable).

[gg0]

Bonsoir.

Les bornes proposées -(b-a)/2 et (b-a)/2 ne sont pas atteintes, mais sont indépendantes de n. On voit qu'elles sont les meilleures si n n'est pas donné en examinant le cas de n-1 fois a et 1 fois b, ou 1 fois a et n-1 fois b.
Pour n fixé, la même situation montre qu'on n'améliore pas tellement ces bornes si n n'est pas très faible.

Cordialement.

[KerLannais]

Re bonjour,

Ca y est j'ai trouvé le prolème dans la démonstration. Le point de détail que tu avais soulevé gg0. Il se trouve dans l'initialisation de la récurrence. Pour la valeur de est donnée par la contrainte et cette valeur n'est pas forcément ou . Donc en fait le maximum n'est pas atteint en un sommet du pavé mais presque. Toutes les composantes sont égales à ou à sauf éventuellement une des composantes ( puisqu'on réordonne les valeurs de la suite au fur et à mesure de la récurrence).

Mais en fait il n'est pas nécessaire de s'arracher les cheveux ainsi puisque la maximum avec contrainte est nécessairement inférieur au maximum sans contrainte qui lui se trouve nécessairement en un sommet. La démonstration est donc beaucoup plus simple:

Si on pose (on considère toujours fixé dans )

alors on définit une fonction continue sur le compact . Elle atteint donc son maximum en un certain point . On pose

et

Alors on a


On peut donc regarder le maximum sans contrainte de qui lui est atteint en un sommet de (cette fois-ci tout fonctionne à la perfection et c'est même plus facile puisqu'on utilise pas les extrema liés mais juste le fait qu'en un extremum intérieur la différentielle s'annule ou le fait que est convexe). Ensuite on vérifie que le majorant est atteint pour une valeur de pair de sorte que si on veut un majorant indépendant de on ne peut pas faire mieux. Si est impair il y a un majorant plus petit qui dépend de et si on veut montrer que le majorant marche il faut faire une démonstration plus compliquée.

[invitee3a2ba33]

merci pour les réponses je vais étudier le tout pour voir

[invitee3a2ba33]

Salut à tous,

Si on considère que la moyenne, l'écart-type et le coefficient de dissymétrie comme des fonctionnelles dans l'ensemble des suites finies dans [a, b]. On appelle cet ensemble Sa,b.

Et si on définit trois ensembles, qui sont les images de Sa,b par les trois fonctionnelles.

Le problème est de calculer le min et max des ensembles engendrés par les fonctionnelles.

Comment faire ???

[KerLannais]

Bonsoir,

Le plus simple est déjà de se ramener à un espace de dimension finie. Ton ensemble est un espace vectoriel de dimension infinie ce qui peut compliquer les choses. Il peut être utile de fixer la valeur de , dans ce cas on considère l'espace vectoriel de dimension : de suites finies à exactement valeurs (des vecteurs). Ensuite, de même que tu utilise la dérivée pour déterminer les variations et extrema de fonctions à une seule variable, tu peux utiliser la différentielle pour déterminer les extrema d'une fonction à plusieurs variables. Pour une fonction à une variable définie sur le segment on sait que, si est dérivable alors soit:

1) le maximum est atteint sur le bord (c'est ou )
2) la dérivée s'annule là ou le maximum est atteint: si le maximum est atteint en alors


Ceci permet de trouver plus facilement où trouver le maximum puisque c'est soit en soit en , soit en un zéro de la dérivée.

Par exemple:


Le maximum ne peut pas être atteint à l'intérieur puisque la dérivée ne s'annule pas, il est donc atteint sur le bord, ici comme il s'agit d'une fonction décroissante on a et donc la valeur du maximum de est . (Il faut bien faire attention au fait que la dérivée n'est pas toujours nulle en un maximum atteint sur le bord, c'est la raison pour laquelle il faut vérifier 1) et 2).

Pour une fonction à variable c'est pareil mais en utilisant la différentielle à la place de la dérivée

[invitee3a2ba33]

Salut à tous,
Pour parler franchement, les mathématiques ne sont pas mon point fort, tout ce que je connais en maths c'est les maths du secondaire et surtout les fruits de ma curiosité, donc je vous serai reconnaissant de développer les raisonnements mathématiques.
Merci encore.

[KerLannais]

Re bonjour,

Etes vous familier avec l'utilisation de la fonction dérivée pour trouver le minimum et le maximum d'une fonction d'une seule variable ?

Je vais supposer que c'est le cas.

Considérons une fonction à deux variables et appartenant toutes les deux à l'intervalle . Par exemple

(La quantité est alors l'écart type de la suite finie constituée des deux valeurs et ).

Un maximum pour la fonction est une constante telle que
1) est un majorant, autrement dit est plus grande que toutes les valeurs de la fonction , ce qui signifie que pour tous et de on a

2) le maximum est atteint (c'est une des valeurs prises par la fonction), il existe donc et dans tels que


Pour déterminer ce maximum on veut utiliser une méthode similaire à la méthode utilisée en une seule variable qui utilise la fonction dérivée. Pour cela on se ramène à des fonctions d'une seule variable. Pour obtenir une fonction à une seule variable à partir d'une fonction de deux variables il suffit de fixer une des deux variables. On définit alors ce que l'on appelle les fonctions partielles, pour une constante fixée on définit deux fonctions notée et par


Autrement dit, on fixe une des deux variables et on fait varier l'autre. Par exemple, avec la fonction définie précédemment, on a


On a le premier résultat suivant:

Si est un maximum pour atteint en alors est un maximum pour atteint en et un maximum pour atteint en .

La preuve est la suivante:

Montrons que est un maximum pour atteint en (l'autre cas est similaire). Tout d'abord, d'après le 1) de la définition suivante implique que pour tout

de sorte que est un majorant de l'ensemble des valeurs prises par la fonction . De plus,

(d'après le 2) de la définition)
Il s'agit donc bien d'un maximum de la fonction qui est atteint en .

On a donc envie de calculer les dérivée des fonctions partielles, ce que l'on appelle les dérivées partielles de . On adopte les notations suivantes:


(Si les fonctions partielles sont dérivable on dit que est partiellement dérivable.)

D'après les propriétés des fonctions d'une seule variable et le premier résultat on a donc

Si est une fonction de deux variables dans l'intervalle , si est partiellement dérivable, si a un maximum atteint en avec et qui sont dans alors

et

Reprenons notre exemple. D'abord simplifions un peu le problème. On admettra le fait que admet forcément un maximum atteint en un certain (on cherche les valeurs de , et ). J'affirme que la fonction plus simple suivante:

a pour maximum atteint en . Il suffit donc de trouver le maximum de pour en déduire celui de . La preuve de l'affirmation vient du fait que si alors (et la fonction est positive). Donc est un majorant pour . De plus


Maintenant, calculons les dérivées partielles de . On a

et

(ne pas oublier que est une constante.)
On a de même

D'après nos hypothèse et le deuxième résultat on a donc, si le maximum était atteint à l'intérieur ( et ne sont pas égaux à ou à et sont donc dans )

Soit encore

Dans ce cas on a

or n'est pas un maximum puisque

Le maximum ne peut donc pas être atteint à l'intérieur, on a soit qui est égal à ou , soit c'est . Les variables et jouent un rôle totalement symétrique, on peut donc supposer sans perte de généralité que avec qui est égal à ou . D'après le premier résultat la fonction

a pour maximum en . Il suffit donc de trouver le maximum de cette fonction d'une seule variable. Si on suppose que alors

Ceci est impossible si n'est égal ni à , ni à . On a donc également qui est égal à ou à . De plus on ne peut pas puisque dans ce cas et n'est pas un maximum. On a donc soit: et soit le contraire, mais on peut supposer sans perte de généralité (par symétrie des variables) que l'on est dans le premier cas. On a donc


et (puisque est nécessairement positif)

Le maximum étant atteint par exemple pour et .

On vient donc de traiter le cas des suites de deux valeurs. Pour un nombre supplémentaire de valeurs il suffit de procéder de même.

[invitee3a2ba33]

merci pour la réponses,
comment faire pour rendre la preuve indépendante du nombre des termes, parce que d'après ce que j'ai compris de votre méthode il faut créer autant de fonctions que le nombre des termes ???

[KerLannais]

Je l'ai écrite avec deux termes pour que ce soit plus facile à comprendre mais c'est pas beaucoup plus difficile de l'écrire avec un nombre quelconque de termes:

On pose

et


Si est le maximum de atteint en alors a pour maximum atteint en .

Soit un entier compris entre et alors

On a donc, si est différent de et de :

Ainsi,

et

avec

et le nombre d'élément de . Notons le nombre d'indices tels que et alors

et


On a donc




et voilà le travail! (Je peux détailler des passages si besoin).

[invitee3a2ba33]

Merci pour les réponses
Je vois que vous avez considéré le problème différemment : des vecteurs au lieu des suites, j'aurais dû le penser

Comme vous l'avez supposé je sais heureusement qu'il faut dériver pour trouver les extremums

J'ai cependant une question : est ce que cette preuve est mathématiquement rigoureuse ? comme ça je l'adapterai pour le coefficient de dissymétrie.

[invitee3a2ba33]

Salut, j'ai essayé le même raisonnement avec le coefficient de dissymétrie mais je n'ai pas pu trouver de solution, est ce qu'il peut admettre un sup au lieu d'un max ???

[KerLannais]

Re bonjour,

Oui alors en fait pour le coefficient de dissymétrie c'est effectivement plus compliqué. En fait je me suis trompé. En supposant que le maximum est atteint sur un sommet (toutes les sont égaux soit à soit à ) alors on peut majorer indépendamment de par

On ne peut pas trouver de suite finie qui atteint ce maximum, mais on peut s'approcher de cette borne lorsque devient grand. Par exemple, pour et , si on prend une suite finie de valeurs avec fois le nombre et fois le chiffre alors le coefficient de dissymétrie est environ ou égal à

et le majorant est environ ou égal à

Mais bon encore faut-il prouver que le maximum est atteint en un sommet

Le problème n'est donc pas totalement résolu.

[invitee3a2ba33]

Salut et merci,
Moi aussi j'ai approximé cette valeur en effectuant des millier de tests sans autant la connaitre exactement, comment avez vous procédé pour la trouver ?

[invitee3a2ba33]

Salut,
Ayant bien réfléchi, j'ai constaté que les extremums sont atteints uniquement avec les vecteurs dont les composantes sont soit Alpha soit Beta.

Je crois que si on se limite à ces vecteurs les calculs seront un peu faciles, il reste donc à prouver que les extremums sont atteints uniquement avec.

Avez-vous une idée ???

[KerLannais]

Bonsoir

Si les vecteurs ne sont constitués que de valeurs et alors il est facile de démontrer la majoration avec la borne que j'ai donnée:

Soit un vecteur dont les valeurs sont soit , soit . On note le nombre de et

La moyenne de est alors

Le coefficient de dissymétrie élevé au cube est alors donné par




En étudiant la fonction

on trouve que son maximum est atteint en

et que ce maximum vaut


Il suffit alors de passer à la racine cubique pour conclure.

Ainsi, si le nombre de dans la suite est suffisamment proche de
(par exemple la partie entière de cette quantité)
et si est assez grand alors le coefficient de dissymétrie est proche du majorant.

Pour ce qui est de montrer que le maximum est atteint pour des suites qui ne prennent que les valeurs et je n'ai pas encore réussi, j'ai juste réussi à montrer qu'il suffit de regarder les suites qui prennent au maximum trois valeurs, , et une autre valeur entre et . Cela réduit le champ de recherche mais pas encore suffisamment pour pouvoir calculer le maximum